10. Волноводы

Волноводом называют полую металлическую трубу произвольного поперечного сечения. Наиболее часто используют прямоугольные или цилиндрические (круглые) волноводы. Ось волновода, как правило, совмещают с осью . Электромагнитное поле направляемой вдоль вол­новода волны представляют в виде

, , (10.1)

где  продольное волновое число.

Электромагнитные волны в регулярных волноводах не являются поперечными. Различают электрические или -волны, имеющие продольную сос­тавляющую электрического поля ( =0), и магнитные или -волны, имеющие продольную составляющую магнитного поля ( =0). С учетом из уравнений Максвелла и (10.1) все поперечные составляющие векторов поля могут быть выражены через продольные; для случая прямоугольного волновода эта связь представляется в виде

,

, (10.2)

,

.

Здесь  поперечное волновое число, связанное с продольным волно­вым числом соотношением

. (10.3)

Полагая, что в (10.2) =0, получают поперечные составляющие векторов и для волн ; полагая = 0, получают соответственно попе­речные составляющие для волн .

Продольные составляющие полей в регулярном волноводе получают­ся на основе решения однородного волнового уравнения Гельмгольца при соответствующих граничных условиях. Для волн

при , (10.4)

для волн

при . (10.5)

Отличные от нуля решения записанной выше краевой задачи получаются лишь при строго определенных значениях , которые называются собственными значениями данной краевой задачи. Они определяются только формой и размерами поперечного сечения волновода. В общем случае результирующее поле в волноводе представляет собой бесчисленную сумму волн всех возможных типов.

Электромагнитная волна может распространяться в волноводе и эффективно переносить энергию, если частота задающего генератора превышает некоторое критическое значение , называемое критичес­кой частотой, т.е. при условии

> или . (10.6)

Критическая длина волны связана с критическим значением волно­вого числа , которое по величине совпадает с собственным значе­нием рассматриваемой краевой задачи соотношением

. (10.7)

Продольное волновое число с учетом (10.3) равно

. (10.8)

Длина волны в волноводе

. (10.9)

Фазовая скорость волны в волноводе

, (10.10)

где есть скорость плоской однородной волны, распростра­няющейся в безграничной однородной среде с параметрами среды , , заполняющей волновод.

Групповая скорость определяется соотношением

. (10.11)

Соотношения (10.7)(10.11) справедливы для регулярных волноводов любых сечений.

Для прямоугольного волновода

, (10.12)

где  размеры широкой и узкой стенок волновода;  индексы волны, равные числу полуволн, укладывающихся вдоль соответственно широкой и узкой стенок волновода.

Для волн продольная составляющая электрического поля по­лучается на основании решения краевой задачи (10.2) и имеет вид

. (10.13)

Поперечные составляющие поля и для этого типа волны получают­ся из (10.2) при условии .

Характеристическое сопротивление волновода для волн типа

, (10.14)

где  сопротивление среды, заполняющей волновод.

Для волн продольная составляющая магнитного поля получается на основании решения краевой задачи (10.5) и имеет вид

. (10.15)

Поперечные составляющие поля и для этого типа волны получают­ся из (10.2) при условии .

Характеристическое сопротивление волновода для волн типа

, (10.16)

Основной волной в волноводе называют волну, обладающую наибольшей критической длиной. Такой волной для прямоугольного волновода является волна . Структура ее получается из общих со­отношений при значении индексов и . Критическая длина волны для волны равна

. (10.17)

Если потребовать выполнения условий

, , (10.18)

то в волноводе будет распространяться только основная волна, волна ; для всех остальных типов волн

.

Мощность, передаваемая по волноводу при распространении в нем ос­новной волны, определяется соотношением

, (10.19)

где  максимальное значение напряженности электрического поля в точке .

Для волновода с потерями передаваемая мощность

, (10.20)

где  коэффициент затухания.

Для волны

. (10.21) Здесь  поверхностное сопротивление материала стенок волновода.

Для круглого волновода структура электромагнитного поля волн, распространяющихся по волноводу, определяется также на основе реше­ния краевых задач (10.4) и (10.5) только в цилиндрической системе координат. Все поперечные составляющие, как и в случае прямоуголь­ного волновода, выражаются через продольные; при этом надо исхо­дить из уравнений Максвелла в цилиндрической системе координат. Эта связь представляется в виде:

(10.22)

Полагая в них =0, получаем поперечные составляющие для волн ; полагая =0, получаем соответственно поперечные состав­ляющие для волн .

Для волн собственные значения краевой задачи (10.4) полу­чаются равными

, (10.23)

где  радиус поперечного сечения волновода;  -й корень уравнения ;  функция Бесселя -го порядка. Индексы и характеризуют число вариаций поля по координатам и круглого волновода соответственно.

Критическая длина волны

. (10.24)

Продольная составляющая электрического поля

. (10.25)

Коэффициент затухания для волн

. (10.26)

Для волн типа собственные значения получаются равными

, (10.27)

где  -й корень уравнения ;  производная функции Бесселя.

Критическая длина волны

. (10.28)

Продольная составляющая магнитного поля

. (10.29)

Коэффициент затухания для волн

. (10.30)

Основной волной в круглом волноводе является волна . Ее структура может быть получена из общих соотношений при значении индексов =1 и =1.

Критическая длина волны

. (10.31)

Если потребовать выполнения условий

, (10.32)

то в волноводе будет распространяться волна ; для всех остальных типов волн .

Задачи

10.1. Построить графики зависимостей и от для вол­ны основного типа заполненного воздухом волновода, если  размер широкой стенки волновода.

10.2. Как изменятся результаты задачи 10.1 при заполнении вол­новода диэлектриком с ?

10.3. Показать, что в волне основного типа прямоугольного вол­новода центр семейства линий совпадает с максимумом тока смеще­ния.

10.4. Ввиду того, что поперечные и продольные составлявшие магнитного поля направляемой волны сдвинуты по фазе на 90⁰, в прямоугольном волноводе, передающем волну основного типа, существуют точки, в которых вектор поляризован по кругу. Найти геометричес­кое место этих точек.

10.5. Построить картину линий токов в стенках круглого волновода для волны .

10.6. Построить картину линий токов в стенках круглого волновода для волны .

10.7. С помощью щели возбудить в круглом волноводе волну типа .

10.8. В прямоугольном волноводе с помощью штыря возбудить вол­ну .

10.9. Какие волны типа могут распространяться в прямоуголь­ном волноводе размерами = 10 23 мм², заполненном диэлект­риком, если , =10¹⁰ Гц?

10.10. Определить длину волны типа в прямоугольном волново­де сечением 4 3 см² при частоте 10000 МГц. Построить картину поля в волноводе.

10.11. По прямоугольному волноводу заданных размеров распространяются и волны, причем =0,6 для обеих волн. Какая из волн переносит большую мощность, если =5 В/м, =5 А/м?

10.12. В прямоугольном волноводе размерами распростра­няется волна , найти выражение для токов по широкой стенке ( ) волновода, прорезать в ней излучающую щель.

10.13. В каких точках поперечного сечения прямоугольного вол­новода напряженность электрического поля всегда равна нулю для волн , ?

10.14. В прямоугольном волноводе сечением 2,3 1,0 см² расп­ространяется волна с максимальной напряженностью электрического поля 10 В/м. Определить максимальную величину плотности продольного электрического тока, если частота колебаний = 9375 МГц ( =3,2 см).

1

2 4

3

Рис. 10.1

10.15. Определить, какие волны типа Е распространяются в круглом волноводе диаметром 3 см на частоте 12000 МГц. Заполнение .

10.16. В прямоугольном волноводе с помощью щелей возбудить ко­лебания , .

10.17. На рис. 10.1 изображен прямоугольный волновод, в котором прорезаны узкие щели. С помощью каких щелей при облучении их внеш­ним полем можно возбудить в волноводе волну , ?

10.18. Длина волны в круглом волноводе при типе колебаний равна 4 см. Определить диаметр волновода, если рабочая частота 9375 МГц.

10.19. Напряженность поперечной составляющей магнитного поля в точке волновода с волной типа равна 100 А/м. Длина волны в вол­новоде, заполненном диэлектриком с =2,25, равна длине волны в воздухе. Определить напряженность электрического поля в той же точ­ке.

10.20. Определить, какие волны типа распространяются в круглом волноводе диаметром 3 см на частоте 9000 МГц. Заполнение  среда с =4.

10.21. Определить, какие типы волн могут распространяться в заполненном воздухом прямоугольном волноводе сечением =2,5 5 см² при частоте 7,510⁹ Гц; найти значение критической длины волны в каждом случае. Нарисовать картины поля.

10.22. Найти критические длины волн для прямоугольного волно­вода сечением 10 23 мм². Рассмотреть и волны с характеристи­ческими числами , = 0, 1, 2, 3.

10.23. Определить диапазон частот, в пределах которого в круг­лом волноводе диаметром 4 см может распространяться только основной тип волны.

10.24. Наибольшее амплитудное значение напряженности электри­ческого поля в прямоугольном волноводе сечением =2,5 5 см² составляет 5 В/м, частота 7,510⁹ Гц, диэлектрик  воздух, тип волны  .

Определить амплитуду составляющей магнитного поля и поверхностной плотности тока в стенках волновода (полагая стенки сделанными из идеального проводника). Найти величину тока смещения в диэлектрике волновода.

Рис. 10.2

10.25. Волна типа в прямоугольном волноводе при работе возбуждающего генератора на волне в 10 см вчетверо короче, чем при работе генератора на волне в 20 см. Найти ширину волновода.

10.26. В квадратный волновод со стороной сечения =10 см помещена квадратная рамка, занимающая один из квадрантов поперечного сечения вол­новода (рис. 10.2). Определить наво­димую в рамке ЭДС при волнах типов , , если амплитудное значение напряженности электрического поля у середины стенки в обоих случаях равно 510² В/м. Стенки вол­новода считать идеально проводящими.

10.27. Найти фазовую скорость волны в полом металлическом вол­новоде, заполненном воздухом, если скорость движения энергии =1,810⁸ м/с.

10.28. В прямоугольном волноводе, заполненном воздухом, напря­женность поля в пучности основного типа волны равна 10^-3 В/м. Найти амплитуды поперечного и продольного магнитного по­ля, а также передаваемую мощность при =15 см, если размеры волновода =10 5 см².

10.29. Скорость передачи энергии по прямоугольному волноводу с основным типом волны и поперечным сечением 10 3 см² в 2 раза меньше, чем в свободном пространстве. Определить частоту генератора.

10.30. Определить затухание на единицу длины в медном волново­де сечением 2,3 1,0 см² на частоте 10000 МГц при волне типа .

10.31. Определить потери мощности в стенках на 1м длины и ко­эффициент затухания прямоугольного волновода сечением 2,5 5 см² при волне типа . Материал стенок  серебро с удельной проводи­мостью =6,610⁷ См/м. Амплитудное значение продольной составля­ющей напряженности электрического поля в центре сечения составляет 10⁵ В/м, частота  7,510⁹ Гц. Диэлектрик  воздух.

10.32. Определить величину поверхностного сопротивления метал­ла, если затухание в волноводе на частоте 1000 МГц равно 1 Нп/м, длина волны в 1,2 раза больше, чем в воздухе, а отношение попереч­ных размеров волновода =4:3. Тип волны .