- •390005, Рязань, ул. Гагарина, 59/1.
- •Обозначение координат и единичных векторов
- •Обозначения величин
- •1. Векторы Некоторые формулы векторной алгебры
- •Операции векторного анализа
- •Основные характеристики
- •Электрические токи
- •Векторы поля
- •3. Уравнения максвелла
- •Первое уравнение Максвелла – обобщение закона полного тока
- •Второе уравнение Максвелла обобщение закона электромагнитной индукции Фарадея
- •Третье уравнение Максвелла теорема о потоке вектора электрической индукции
- •Четвертое уравнение Максвелла закон непрерывности магнитного поля
- •4. Граничные условия
- •5. Теорема пойнтинга
- •6. Электростатическое поле
- •7 . Стационарное магнитное поле Основные уравнения стационарного магнитного поля
- •8. Электрическое поле в проводящей среде Основные уравнения электрического поля
- •9. Плоские электромагнитные волны
- •10. Волноводы
- •11. Объемные резонаторы
- •12. Элементарные излучатели
- •Приложения
- •Сводка применений дифференциального оператора
- •Основные единицы измерения физических величин
9. Плоские электромагнитные волны
Плоской однородной называют волну, поверхность равных фаз которой представляет собой семейство плоскостей, перпендикулярных к направлению распространения волны, а амплитуды векторов поля во всех точках волнового фронта неизменны. Комплексные амплитуды и плоской однородной волны удовлетворяют однородным волновым уравнениям Гельмгольца
; (9.1)
и в случае отсутствия потерь могут быть представлены в виде
, , , (9.2)
где волновое число; круговая частота; волновое сопротивление среды; координата точки на направлении, вдоль которого распространяется волна.
Векторы поля и перпендикулярны друг к другу и направлению распространения волны, они колеблются в фазе и образуют с вектором Пойнтинга правую винтовую тройку. Вектор Пойнтинга является чисто вещественной величиной. Среднее за период значение его величины равно
. (9.3)
Фазовая скорость и скорость переноса энергии плоской однородной волны совпадают со скоростью света в данной среде:
, , (9.4)
где плотность энергии электрического и магнитного полей, равная
. (9.5)
При распространении плоской однородной волны в среде с потерями волновое число становится комплексной величиной
,
где коэффициент фазы;
коэффициент затухания; тангенс угла электрических потерь.
Комплексные амплитуды векторов поля и плоской однородной волны в среде с потерями при условии ориентации вектора вдоль оси декартовой системы координат в среде могут быть представлены в виде
. (9.6)
Поверхности равных фаз и равных амплитуд совпадают, отношение комплексных амплитуд векторов и остановится величиной комплексной
, (9.7)
что говорит о том, что между векторами и имеет место сдвиг по фазе, равный по величине и меняющийся в пределах от 0 до в зависимости от величины удельной проводимости среды . Фазовая скорость становится меньше скорости света
, (9.8)
причем имеет место зависимость фазовой скорости от частоты. Такое свойство носит название дисперсии, а среды, обладающие таким свойством, называются диспергирующими. Вектор Пойнтинга в этом случае оказывается комплексной величиной
. (9.9)
Комплексная амплитуда плоской однородной волны, распространяющейся в произвольном направлении (рис. 9.1), может быть представлена в виде
, (9.10)
где координаты точки наблюдения ; углы, образованные направлением распространения волны и соответствующими осями декартовой системы координат.
а б
Рис. 9.2
Рис. 9.1
Для нормально поляризованной волны формулы Френеля имеют вид
(9.11)
для параллельно поляризованной соответственно
(9.12)
В приведенных выше формулах угол падения; угол преломления. Связь между ними устанавливается законами Снеллиуса:
1) угол падения равен углу отражения ;
2) отношение синуса угла преломления к синусу угла падения равно отношению показателей преломления сред
. (9.13)
Задачи
9.1. Плоская гармоническая линейно поляризованная электромагнитная волна распространяется в неограниченном пространстве в направлении . Диэлектрическая проницаемость среды , магнитная проницаемость . Удельная проводимость . Амплитуда напряженности электрического поля =50 мВ/м. Угловая частота =108 1/с. Составить уравнение волны и определить ее параметры. Определить величину и направление векторов , , плотности тока смещения . Найти мгновенные значения , , при =0, = 10-8 с и =1 м.
9.2. В поле плоской волны с параметрами, указанными в предыдущей задаче, расположена плоская рамка размерами . Найти величину ЭДС, которую наводит электромагнитная волна в этой рамке, если плоскость рамки перпендикулярна к .
9.3. Плотность потока мощности эллиптически поляризованной волны равна 20 Вт/м2. Вычислить плотность потока мощности для ортогональных компонент, если отношение осей эллипса поляризации 0,5, а сдвиг фаз между ортогональными составляющими 90°.
9.4. Измерения световой энергии показали, что через каждый квадратный сантиметр поверхности, перпендикулярной к солнечным лучам, проходит 1 Вт/с. Считая поток параллельных солнечных лучей плоской электромагнитной волной, определить напряженность электрического и магнитного полей в вакууме.
Рис. 9.3
9.6. Плоская электромагнитная волна распространяется в сухой почве с параметрами: удельная проводимость = 0,0010 См/м; диэлектрическая относительная проницаемость =4. Определить коэффициент затухания, фазовую скорость и длину волны для частоты 15105 Гц. Найти расстояние, на котором амплитуда поля убывает в 100 раз.
9.7. Фазовая скорость плоской волны, распространяющейся в дистиллированной воде, вычисляется по формуле . Определить ошибку, которую мы совершаем при частоте =108 Гц, не учитывая потери. Параметры среды: Гн/м; = 81,1; =210-4 См/м.
9.8. Две волны круговой поляризации правого вращения, имеющие одинаковые амплитуды, распространяются в противоположных направлениях вдоль оси . Записать аналитическое выражение для результирующего поля. Среда вакуум.
9.9. Показать, что заданные выражения не описывают составляющие плоской волны в вакууме
, .
9.10. Записать мгновенное значение вектора Пойнтинга плоской волны =107 рад/с, распространяющейся в среде с параметрами , , =2 См/м. Определить моменты изменения направления вектора Пойнтинга волны на противоположное.
9.11. Определить параметры среды без потерь, в которой распространяется волна, если =40 Ом; ; длина волны в вакууме.
9.12. Вычислить коэффициенты затухания для меди и стекла на частотах =10 Гц, 105 Гц, 1010 Гц; =5,6107 Cм/м; =10-12 См/м.
9.13. Определить, на каком расстоянии от источника плотность потока мощности плоской волны уменьшается в 100 раз. Параметры среды: ; ; =10-2 См/м. Рабочая частота =106 Гц.
9.14. Определить толщину экрана, ослабляющего напряженность поля на 60 дБ. Проводимость материала =10-6 См/м; ; =106 Гц.
9.15. Рассчитать толщину экрана из материала с проводимостью =106 См/м, необходимую для ослабления напряженности электромагнитного поля на 30 дБ (1000 раз по мощности). Рабочая частота =106 Гц, магнитная проницаемость , диэлектрическая проницаемость .
9.16. Из воздуха на медную пластину нормально падает волна с частотой =100 МГц. Напряженность поля = l А/м. Определить поле на границе пластины и мощность, поглощаемую пластиной на единице ее площади, если =5,6107 Cм/м; =10.
9.17. Плоская волна попадает из воздуха на плоскопараллельную пластину из полиэтилена ( =2,25). Найти угол наклона пластины к лучу, при котором параллельно поляризованная волна проходит пластину без отражения. Показать, что полное прохождение имеет место на обеих плоскостях пластины. Найти коэффициент отражения нормально поляризованной волны от каждой из плоскостей пластины при этом же угле.
9.18. Длина волны, распространяющейся в воздухе, составляет 1 м. Какова длина волны на той же частоте в меди, свинце? =5,6107 Cм/м; =0,48107 Cм/м.
9.19. Плоская электромагнитная волна распространяется в среде с параметрами ; ; =10-2 См/м. Определить, во сколько раз уменьшится амплитуда поля волны на каждые 10 м пройденного расстояния. =105 Гц.
9.20. Определить, на каком расстоянии от начала координат амплитуда напряженности электрического поля уменьшится до 0,01 своего первоначального значения. Параметры среды: =10 , =1, =108 Гц, =10-2 См/м, (0, 0, 0)= 510-3 В/м.
9.21. Плоская электромагнитная волна распространяется вертикально сверху вниз и падает на поверхность моря. Длина волны в воздухе =600 м. Удельная проводимость морской воды 1 См/м. Определить длину волны в воде, а также измененную скорость распространения волны после прохождения через поверхность моря. На какую волну необходимо настроить приемник под водой (если его шкала проградуирована в длинах волн) на длину волны в воздухе или в воде?
9.22. Плоская волна падает нормально на бесконечную идеально проводящую плоскость. Результирующее поле
, ,
где .
Рис. 9.4
9.23. Плоская электромагнитная волна, распространяющаяся в среде с параметрами ; ; =0, падает нормально (угол падения равен нулю) на плоскую границу раздела с идеальным проводником. Определить плотность поверхностного тока на граничной плоскости. Амплитуда падающей волны (рис. 9.4).
9.24. Волна, поляризованная по кругу, падает на плоскую границу раздела двух диэлектриков. Чему равняется отношение волновых сопротивлений сред, если отраженная волна линейно поляризована, а угол падения =30°? Записать выражение для отраженной волны.
9.25. Плоская параллельно поляризованная волна распространяется в воздухе и падает под углом на плоскую границу раздела с идеальным проводником (рис. 9.5). Определить плотность поверхностного тока на граничной плоскости. Амплитуда падающей волны .
9.26. Плоская нормально поляризованная электромагнитная волна распространяется в среде с параметрами , и падает под углом 45° на плоскую границу раздела с идеальным проводником (рис. 9.6). Определить плотность поверхностного тока на граничной поверхности, если амплитуда падающей волны .
Рис. 9.5
Рис. 9.6