6. Электростатическое поле

Система уравнений электростатики  частный случай системы уравнений Максвелла, когда =0:

; ;

; .

Для описания электростатического поля вводится скалярная функ­ция  потенциал : .

Введенный таким образом потенциал неоднозначен и не имеет фи­зического смысла.

Разность потенциалов между двумя точками численно равна работе по перемещению единичного положительного заряда между ними:

.

Эта величина не зависит от пути, по которому перемещался заряд.

Как следует из вышеприведенных формул, понятие разности потен­циалов является точным лишь для полей, не зависящих от времени.

Граничные условия электростатики у поверхности проводника

; .

Таким образом, поверхность проводника в электростатическом по­ле эквипотенциальна.

Энергия электростатического поля , где  объем заряженного тела;  потенциал относительно бесконечно удаленной точки.

Емкость заряженного тела определяется как коэффициент пропор­циональности между его потенциалом относительно бесконечно удаленной точки и зарядом, сосредоточенным на этом теле: .

Конденсатор представляет собой систему двух проводников, несу­щих равные по величине и противоположные по знаку заряды. Его ем­кость , где  величина заряда одного из тел;  разность потенциалов между ними.

Задачи

Рис. 6.1

6.1. Потенциал некоторой области . Является ли данная функция решением уравнения Лапласа?

6.2. На внутренней сфере расположен заряд , Вычислить по­верхностную плотность заряда и полный заряд внешней сферы, выпол­ненной из идеального проводника (рис. 6.1).

6.3. Определить радиус уединенной сферы емкостью 1 Ф. Среда  вакуум.

6.4. Заряд с объемной плотнос­тью распределен в объеме шара радиусом . Определить закон изменения напряженности и индукции электрического поля внутри и вне ша­ра. Описать поведение векторов и при переходе границы шар-воздух. Вы­числить энергию электрического поля, создаваемую заряженным шаром. Диэле­ктрическая проницаемость материала шара , среды  .

Рис. 6.2

6.5. Определить емкость, раз­ность потенциалов между обкладками, напряженность поля и индукцию в диэлектриках с и , заполняющих двухслойный сферический конденсатор, имеющий заряд (рис. 6.2).

Рис. 6.3

6 .6. Определить погонную ем­кость, разность потенциалов между обкладками, напряженность поля и ин­дукцию в диэлектрике, заполняющем двухслойный цилиндрический конденса­тор. На единицу длины конденсатора приходится заряд (рис. 6.3).

6.7. Положительный заряд равно­мерно распределен по кольцевой линии радиусом . Диэлектрическая проницаемость среды . Линейная плотность заряда . Найти потенциал и напряженность поля в точках, лежащих на оси кольца. Построить и (рис. 6.4).

6.8. Положительный заряд равномерно распределен на плоском круглом диске радиусом . Диэлектрическая проницаемость среды , диска . Найти напряженность электрического поля и по­тенциал точек, лежащих на оси , нормальной к диску и проходя­щей через ее центр, если = 10 ^-6 Кл, =10 см (рис. 6.5).

0

Рис. 6.4 Рис. 6.5

6.9. Вдоль прямолинейного отрезка длиной распределен заряд с линейной плотностью . Найти на­пряженность поля в точке М, отстоящей на расстоянии от заряженной нити. Диэлектрическая проницаемость среды (рис. 6.6).

Рис. 6.6

6.10. В поле заряженного шара найти радиусы эквипотенциальных по­верхностей, потенциалы которых от­личаются друг от друга на 10 В; =1 мм: =8,8910^-11 Кл. Шар находится в воздухе.

6.11. Начало декартовых координат помещено в геометрическом центре заряженного проводящего шара. Найти заряд шара, если разность потенциалов точек А(-14, 4, 8) и В(-12, 16, 0) (в см) равна 30 В, а радиус шара =2 мм.

6.12. Непосредственным интегрированием, используя теорему Гаусса, показать, что напряженность электрического поля на расстоянии от бесконечного тонкого провода , где  линейная плотность заряда.

6.13. Даны три заряженные сферы радиусом . Одна из них про­водящая, другая однородно заряжена по всему объему, а по объему третьей заряд распределен сферически симметрично, причем плотность заряда меняется как . Полный заряд каждой сферы . Пользуясь теоремой Гаусса, найти электрическое поле внутри и вне каждой сфе­ры. Построить графики зависимости поля от радиуса. Для третьего случая принять = -2, =2.

Рис. 6.7

6.14. С помощью теоремы Гаусса доказать, что на искривленной поверхности заряженного проводника нормальная производная электри­ческого поля удовлетворяет соотношению , где и  главные радиусы кривизны поверхности.

6.15. Заряд распределен на нити с линейной плотностью . Определить потенциал на оси (рис. 6.7).

Рис. 6.8

6.16. Объемный заряд с плотностью равномерно распределен между двумя концентрическими сферическими поверхностями. Радиус внешней поверхности , радиус внутренней поверхности . Диэлект­рическая проницаемость среды между шаровыми поверхностями , окружающей среды  (рис. 6.8). Найти , , . Построить графики поля.

Рис. 6.9

6.17. Точечный заряд 10^-5 Кл находится на расстоянии 0,25 м от бесконечно проводящей плоскости. Определить плотность электричес­кого заряда, образовавшегося в различных точках плоскости вследствие электростатической индукции (рис. 6.9).

6.18. Металлический шар радиу­сом 0,2 м несет на себе заряд =610^-5 Кл. Диэлектрическая про­ницаемость среды . Подсчи­тать энергию электрического поля.

Рис. 6.10

6.19. Определить величину заря­да сферического конденсатора, при котором будет обеспечен трехкратный запас по пробивному напряжению диэлектрик  воздух. Напряженность поля в воздухе, при которой происходит пробой, равна 3000 В/мм. Ра­диусы сфер: = 3 см, = 5 см (рис. 6.10).

6.20. Определить силы, действующие на обкладки плоского кон­денсатора площадью , если:

Рис. 6.11

а) конденсатор заряжен до потенциала и отключен;

б) конденсатор подключен к источнику .

6.21. Три заряда расположены, как показано на рис 6.11. Вычислить электростатическую силу, действующую на каждый заряд. Вычислить полную потенциальную энергию системы зарядов.

6.22. Найти распределение зарядов, создающих в вакууме потен­циал .

6.23. Вычислить энергию равномерно заряженного шара радиусом . Диэлектрическая проницаемость шара , заряд , окружающая среда  вакуум.

Рис. 6.12

6 .24. Вывести формулы для определения напряженности поля и ем­кости двухслойного плоского конденсатора, а также построить графики изменения модулей векторов напряжен­ности электрического поля, модуля вектора электрической индукции и потенциала в функции расстояния . Толщина первого слоя диэлектрика , второго слоя . Диэлектрическая проницаемость первого слоя  , второго . Принять ; . Разность потенциалов между обкладками конден­сатора равна . Площадь пластин конденсатора  (рис. 6.12).