3.6Векторное произведение векторов.

Рис. 12. Рис. 13.

Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется правой, если при совмещении начал векторов кратчайший поворот первого вектора ( ) ко второму ( ) с конца третьего вектора ( ) наблюдается против часовой стрелки (рис. 12). Если указанный поворот происходит по часовой стрелке, тройка векторов называется левой (рис. 13).

Замечание 5. В соответствии с ориентацией тройки базисных векторов различают правую и левую систему координат в пространстве.

Определение 10.

Векторным произведением неколлинеарных векторов и (обозначается ) называется вектор такой что: , где - угол между и ; перпендикулярен каждому из векторов и ; направлен так, что тройка , , правая. Если , то по определению .

Теорема 7 (Свойства векторного произведения).

1) тогда и только тогда, когда ; 2) (векторное произведение антикоммутативно); 3) ; 4) , где - любые векторы, - любое число.

Теорема 8. (Геометрический смысл векторного произведения).

Для неколлинеарных векторов и длина их векторного произведения равна площади параллелограмма, построенного на этих векторах (рис. 14).

Рис. 14.

Теорема 9 (Векторное произведение в ортонормированном базисе).

Пусть в правом ортонормированном базисе , . Тогда

Пример 4. В прямоугольной декартовой системе координат заданы точки . Найти площадь треугольника .

Рис. 15.

Площадь S треугольника (рис. 15) равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах и По теореме 8

В соответствии с (3), найдем

По формуле (11)

По формуле (9)

Таким образом

3.7Смешанное произведение векторов.

Определение 11.

Смешанным произведением векторов (обозначается ) называется число (векторное произведение векторов и умножается скалярно на вектор ).

Теорема 10 (Свойства смешанного произведения).

1) тогда и только тогда, когда векторы компланарны; 2) если в смешанном произведении поменять местами два вектора , то знак смешанного произведения изменится на противоположный; 3) 4) где - любые векторы,  - любое число.

Теорема 11 (Геометрический смысл смешанного произведения).

Для некомпланарных векторов абсолютная величина их смешанного произведения равна объему параллелепипеда, построенного на этих векторах (рис. 16). При этом , если тройка правая, и ,если тройка левая.

Рис. 16.

Теорема 12 (Смешанное произведение в ортонормированном базисе).

Пусть в правом ортонормированном базисе Тогда (12)

Пример 5. В пирамиде найти высоту, опущенную из вершины (рис. 17), если в прямоугольной декартовой системе координат

Объем пирамиды

Рис. 17.

где - высота пирамиды, - площадь основания. Объем пирамиды равен 1/6 объема параллелепипеда, построенного на векторах , площадь основания - площадь треугольника равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах (пример 4).

По формуле (3)

По формуле (11)

По теореме 8

По теореме 11, с учетом (12)

(Здесь " " означает абсолютную величину числа).

Теперь из (13)