2.4Исследование слу и их решение методом Гаусса.

Теорема (Кронекера - Капелли).

Для того чтобы СЛУ (1) была совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы равнялся рангу расширенной матрицы . При этом, если ранг равен числу неизвестных , то система имеет единственное решение (определенная); если , то система имеет бесконечное множество решений (неопределенная).

В последнем случае r неизвестных (базисные) могут быть представлены через остальные n-r неизвестных (свободные). Такое представление называется общим решением СЛУ. Свободным неизвестным можно придать любые значения, и соответственно, вычислить значения базисных неизвестных. Полученное таким образом решение называется частным решением.

Метод Гаусса (метод исключения неизвестных) состоит из двух этапов. На первом этапе (прямой ход) СЛУ путем последовательного исключения неизвестных приводится к ступенчатому виду: второе и последующие уравнения не содержат , третье и последующие уравнения не содержат и т. д. На втором этапе (обратный ход), начиная с последнего уравнения, последовательно находятся значения неизвестных.

Проще всего исполнять прямой ход путем приведения расширенной матрицы системы к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований строк (как при вычислении ранга матрицы (ãë. 1, п. 7)). При этом используется очевидное свойство: если матрица получена из расширенной матрицы СЛУ с помощью элементарных преобразований строк, то СЛУ, соответствующая матрице , эквивалентна исходной системе.

Если к элементарным преобразованиям строк матрицы добавить еще перестановку столбцов (кроме последнего), что соответствует перенумерованию неизвестных, то можно добиться, что в полученной в результате матрице ступенчатого вида первые ненулевые элементы в каждой строке будут располагаться на диагонали: ("штрих" вверху означает, что рассматриваются элементы преобразованной матрицы). Дальнейшее решение будет зависеть от вида последней ненулевой строки полученной матрицы. Рассмотрим возможные варианты (для упрощения рассуждений предполагается, что к перестановке столбцов - перенумерованию неизвестных прибегать не пришлось).

1). Последняя ненулевая строка имеет вид

.

В этом случае для матрицы ступенчатого вида, соответствующей матрице , эта строка нулевая, а для матрицы, соответствующей - ненулевая. Следовательно и, согласно теореме, система несовместна.

2). Последняя ненулевая строка имеет вид

.

Тогда - система совместна и определенна.

Указанной строке соответствует уравнение

,

откуда находится .

Предпоследняя строка будет иметь вид

что соответствует уравнению

Подставляя сюда найденное значение , найдем . Далее, "поднимаясь вверх", найдем последовательно

3). Последняя ненулевая строка имеет вид

В этом случае - система совместна и неопределенна. Неизвестные примем в качестве базисных, остальные - свободные. Уравнение, соответствующее последней строке, запишем в виде

Разделив его почленно на , найдем представление через свободные неизвестные. Далее процесс обратного хода выполняется по схеме, описанной в п.2: подставляя в предпоследнее уравнение найденное выражение , найдем представление и т. д. Таким образом будет найдено общее решение СЛУ.

Пример 3. Решить СЛУ

.

Составим расширенную матрицу системы

и преобразуем ее к ступенчатому виду

   .

Здесь число ненулевых строк в преобразованных матрицах A и равно 3, число неизвестных - 3: - система определенная.

Запишем систему, соответствующую преобразованной матрице

.

Выполняем обратный ход. Из последнего уравнения

.

Подставляя его в предпоследнее уравнение, получим

откуда

Наконец, подставляя в первое уравнение найденные значения z и y, получим

откуда

Ответ:

Пример 4. Решить СЛУ

.

Расширенная матрица системы

.

Приводим к ступенчатому виду:

  



Таким образом, . Так как число неизвестных и , то система имеет бесконечное множество решений; три неизвестных - базисные, одно - свободное.

В полученной матрице D ступенчатого вида отбросим нулевую строку и поставим 3-й столбец на место 2-го, 4-й - на место 3-го, 2-й - на место 4-го (чтобы диагональные элементы были отличны от нуля)

 .

Здесь столбцы помечены неизвестными, которым они соответствуют.

Запишем систему, соответствующую полученной матрице

.

Выполняем обратный ход. Из последнего уравнения

.

Подставляя во второе уравнение , найдем

Теперь подставим в первое уравнение найденные значения и :

Из оставшихся неизвестных и любое можно выбрать в качестве свободного, например . Тогда

Положим . Общее решение запишется в виде

где - любое число.

Подставляя значения , будем получать частные решения. Например, при

Замечание. Для выполнения обратного хода перестановку столбцов в матрице D производить не обязательно. Обратный ход выполняется последовательно от последнего уравнения к первому - как и в случае определенной системы. При этом, если в очередном уравнении после подстановки в него значений уже найденных неизвестных остается больше одного неизвестного, следует любое из них рассматривать в качестве базисного, а остальные - в качестве свободных неизвестных.

Пример 5. Решить СЛУ

.

Выполняем прямой ход

 

Последней матрице соответствует система

.

Из последнего уравнения находим

.

Подставляя во второе уравнение, получим

.

Положим свободным неизвестным. Тогда

.

Подставляя это значение и значение в первое уравнение, получим

откуда

.

Полагая , получим общее решение СЛУ в виде

.

Пример 6. Решить СЛУ

.

Преобразуем расширенную матрицу системы:

 

 

Здесь . Так как , то система несовместна.