3.4Система координат на плоскости и в пространстве.

Определение 8.

Декартовой системой координат в пространстве называется базис и фиксированная точка O - начало координат (обозначается O, ).

Аналогично определяется система координат на плоскости: O, .

Если векторы базиса взаимно перпендикулярны, то система координат называется прямоугольной. Обычно используют прямоугольную декартову систему координат с ортонормированным базисом.

Рис. 5.

Рис. 6.

Векторам координатного базиса ставят в соответствие оси координат: вектору - ось абсцисс (обозначается OX ), вектору - ось ординат ( OY ), вектору - ось аппликат ( OZ ) (рис. 5 - в пространстве, рис. 6 - на плоскости).

Пусть в пространстве задана декартова система координат O, . Произвольной точке M пространства поставим в соответствие вектор - радиус-вектор точки M.

Координатами точки M в системе координат O, называются координаты радиуса-вектора этой точки в базисе (обозначается ).

Рис. 7.

Из рис. 7 видно, что в прямоугольной декартовой системе координат координаты точки равны ортогональным проекциям этой точки на соответствующие оси.

Итак, введение системы координат позволяет каждой точке пространства поставить в соответствие тройку чисел – координаты точки, и наоборот: всякой упорядоченной тройке чисел соответствует точка. На плоскости устанавливается соответствие между точками и парами чисел.

Указанное обстоятельство, в частности, позволяет решать геометрические задачи аналитическими методами (оперируя с числами).

Задача 1. В декартовой системе координат заданы точки , . Найти координаты вектора .

Рис. 8.

Пусть O - начало системы координат, радиус-вектор точки , радиус-вектор точки . Тогда (рис. 8) . В соответствии с теоремой 4,

Таким образом, чтобы найти координаты вектора, необходимо из координат конца вычесть координаты начала.

Пример 2. В декартовой системе координат , , . Доказать, что точки лежат на одной прямой.

Очевидно, точки лежат на одной прямой, если векторы и коллинеарны. В соответствии с замечанием 2, , если существует  такое, что . Отсюда следует (теорема 4), что координаты векторов и пропорциональны. Используя (3), найдем

Так как

то точки лежат на одной прямой.

Задача 2. В декартовой системе координат заданы точки . Найти координаты точки , делящей отрезок в отношении

Рис. 9.

Векторы и коллинеарны, сонаправлены (рис. 9), отношение их длин равно . Тогда, в соответствии с замечанием 2,

Переходя к равенству соответствующих координат, с учетом (3), получим

Выражая отсюда , получим для координат точки :

Из формул (4) получается, что координаты средины отрезка ( ) равны полусумме соответствующих координат концов:

3.5Скалярное произведение векторов.

Определение 9.

Скалярным произведением векторов и (обозначается ) называется число (5) где - угол между векторами и . Если один из векторов нулевой, то по определению .

Теорема 5 (Свойства скалярного произведения).

1) тогда и только тогда, когда (по определению считается что перпендикулярен любому вектору ); 2) ; 3) ; 4) , где - любые векторы, - любое число.

Рис. 10а. Рис. 10б.

Проекцией вектора на вектор (обозначается ) называется длина вектора , взятая со знаком плюс, если сонаправлен с (рис. 10а), и со знаком минус, если и противоположно направлены (рис. 10б). и - ортогональные проекции начала и конца вектора на прямую, на которой лежит вектор .

Аналогично определяется проекция вектора на ось .

Из рис. 10 видно, что

(6)

Сравнивая (5) и (6), получим

(7)

Теорема 6 (Скалярное произведение в ортонормированном базисе).

Пусть в ортонормированном базисе , . Тогда . (8)

Задача 3. В ортонормированном базисе вектор . Найти .

В соответствии с (5)

откуда . На основании (8)

.

Таким образом

– (9)

длина вектора равна квадратному корню из суммы квадратов координат вектора в ортонормированном базисе.

Задача 4. В прямоугольной декартовой системе координат заданы точки , . Найти - расстояние между точками A и B.

Очевидно, . В соответствии с (3)

.

Применяя (9), получим

(10)

Замечание 4. Если рассматриваются векторы (точки) на плоскости, то в формулах (8) - (10) последнее слагаемое следует заменить нулем.

Рис. 11.

Пример 3. Найти угол при вершине (рис. 11) треугольника , если в прямоугольной системе координат

Из формулы (5)

.

Применяя (3), найдем

С учетом (8) и (9)

Тогда откуда (рад).