- •Высшая математика
- •1. Матрицы и определители 2
- •2. Системы линейных уравнений 22
- •3.1. Основные понятия 36
- •4. Список литературы 59
- •5. Задачи для контрольных заданий 59
- •1.Матрицы и определители.
- •1.1Матрицы. Основные понятия.
- •1.2Операции над матрицами.
- •1.3Определители.
- •1.4Свойства определителей.
- •1.5Свойства определителей.
- •1.6 Обратная матрица.
- •1.7 Ранг матрицы.
- •2.Системы линейных уравнений.
- •2.1Основные понятия.
- •2.2Решение слу методом Крамера.
- •2.3Матричный метод решения слу.
- •2.4Исследование слу и их решение методом Гаусса.
- •3.Векторная алгебра.
- •3.1Основные понятия.
- •3.2Линейные операции над векторами.
- •3.3Линейная независимость векторов. Базис.
- •3.4Система координат на плоскости и в пространстве.
- •3.5Скалярное произведение векторов.
- •3.6Векторное произведение векторов.
- •3.7Смешанное произведение векторов.
- •3.8Линейные пространства.
- •3.9Евклидовы пространства.
- •4.Список литературы
- •5.Задачи для контрольных заданий.
- •5.1Элементы линейной алгебры.
- •5.2Элементы векторной алгебры.
- •5.3Контрольные задания.
3.8Линейные пространства.
Определение 12.
|
II. Для любых из и любых чисел
|
Замечание 6. В линейном пространстве можно определить разность элементов, полагая
,
где противоположный для элемент.
Геометрические векторы с введенными в п. 2 операциями сложения векторов и умножения вектора на число образуют линейное пространство, т. к. аксиомы 1–8 выполняются (теорема 1). Линейное пространство векторов на плоскости обозначают , в пространстве – .
Замечание 7. Абстрактное линейное пространство является обобщением понятия множества геометрических векторов и его теория строится по аналогии с теорией геометрических векторов. На основании этой аналогии, в частности, элементы линейного пространства принято называть векторами.
Векторы линейного пространства будем обозначать полужирными латинскими буквами: , числа – греческими буквами: .
Так же, как в п. 3, вводится понятие линейной комбинации системы векторов из , затем – линейной зависимости и независимости системы векторов. При этом сохраняют силу утверждения, сформулированные в теореме 2.
Определение 13.
|
Если в L существует система из n линейно независимых векторов, а любая система из большего числа векторов линейно зависима, то L называется n-мерным линейным пространством. |
Теорема 13 (О размерности пространства).
|
Если в линейном пространстве L существует система из n линейно независимых векторов
и любой вектор из L можно представить в виде линейной комбинации этих векторов, то L является n-мерным линейным пространством. |
Из теоремы 3 (1, 2) следует, что пространство геометрических векторов на плоскости двумерно. Действительно, в два неколлинеарных вектора линейно независимы, а любые три вектора линейно зависимы, так как они компланарны. Аналогичными рассуждениями устанавливается, что – трехмерно.
Любая упорядоченная система из n линейно независимых векторов n -мерного пространства L называется базисом этого пространства.
Из определения 13 и теоремы 2 (1), следует, что если базис n -мерного пространства L, то любой вектор из L можно единственным образом представить в виде линейной комбинации векторов базиса:
Числа называются координатами вектора в данном базисе. Будем записывать
С помощью аксиом (определение 12) устанавливается утверждение, аналогичное теореме 4: линейные операции над векторами сводятся к соответствующим операциям над их координатами.
Это обстоятельство является одним из основных мотивов в целесообразности и практической значимости введения абстрактных линейных пространств: векторы линейного пространства – элементы произвольной природы задаются набором чисел (координатами), линейные операции над элементами сводятся к арифметическим операциям над числами.
Задача 5. Проверить, являются ли линейными пространствами указанные множества:
а) множество R действительных чисел с обычным образом введенными операциями сложения и умножения;
б) множество Z целых чисел;
в) множество матриц размера , с операциями сложения и умножения матрицы на число (см. ãë. 1, п. п. 1, 2);
г) множество , элементами которого являются последовательности действительных чисел: , если
, ;
д) множество геометрических векторов, если операция умножения на число определена обычным образом, а под "суммой" векторов понимается их векторное произведение;
е) множество многочленов степени не выше n, если под суммой элементов и произведением элемента на число понимается сумма многочленов и произведение многочлена на число.
а). Множество действительных чисел R, очевидно, является линейным пространством: сумма и произведение любых действительных чисел – действительное число, так что требование I выполнено; аксиомы 1-8 также выполняются.
б). Множество Z целых чисел не замкнуто относительно операции умножения на число: например, при умножении целого числа на действительное произведение не принадлежит Z. Следовательно, Z не является линейным пространством.
в). Легко убедиться, используя свойства операций над матрицами (см. ãë. 1, п. 2), что требования I, II выполняются (нулевым элементом будет нулевая матрица размера , противоположным элементом для матрицы будет матрица (–1) ). – линейное пространство.
г). Множество – линейное пространство, т. к. оно, очевидно, замкнуто относительно операций сложения и умножения на число; аксиомы 1, 2, 5, 6, 7, 8 следуют из соответствующих арифметических операций над числами; если определить нулевой элемент и для элемента противоположный элемент , то, очевидно, выполняются аксиомы 3, 4.
Замечание 8. Пространство можно рассматривать как частный случай пространства при .
д). Множество замкнуто относительно операций умножения на число и сложения: для любых векторов и существует "сумма" и является вектором. Однако уже аксиома 1 не выполняется: (теорема 7, п. 2) и , если и не коллинеарны. Таким образом, не является линейным пространством.
е). Множество является линейным пространством: оно замкнуто относительно линейных операций и, очевидно, выполняются все аксиомы (нулевым элементом является многочлен, тождественно равный нулю, противоположным для многочлена
будет многочлен ).
Задача 6. Определить размерность пространств R, , , (см. задачу 5).
а). Если число , то равенство возможно только при , то есть в R существует линейно независимая система состоящая из одного вектора . Пусть и – любое число, принадлежащее R. Вектор можно представить в виде линейной комбинации вектора : , положив .
Итак, в R существует линейно независимая система из одного вектора и любой вектор можно представить в виде линейной комбинации . По теореме 13 R одномерное линейное пространство.
б). Рассмотрим систему из матриц – векторов пространства :
( – матрица размера , у которой , все остальные элементы равны нулю). Составим линейную комбинацию этих векторов с коэффициентами и приравняем ее нулевому элементу . Выполняя соответствующие операции, и учитывая, что нулевым элементом пространства является нулевая матрица, получим
,
откуда все . Таким образом, только тривиальная линейная комбинация системы векторов (14) равна нулевому вектору. Значит эта система векторов линейно независима.
Пусть
– любая матрица из . Очевидно ее можно представить в виде – линейной комбинации системы векторов (14).
Таким образом, по теореме 13 размерность пространства равна .
в). Пространство можно рассматривать как пространство матриц размера (матриц-строк). В соответствии с п. б, размерность равна , то есть .
г). Рассмотрим в систему из n+1 векторов
(15)
и приравняем ее линейную комбинацию нулевому элементу:
Многочлен слева тождественно равен нулю, значит все его коэффициенты равны нулю: . Следовательно система (15) линейно независима. Любой многочлен из
можно рассматривать как линейную комбинацию системы (15) с коэффициентами . Таким образом, по теореме 13, пространство n+1 – мерно.