2.Системы линейных уравнений.
2.1Основные понятия.
Уравнение называется линейным, если неизвестные входят в уравнение в первой степени.
Систему m линейных уравнений с n неизвестными (СЛУ) в общем виде записывают так
(1)
Здесь
- неизвестные; числа
- коэффициенты при неизвестных (i
- номер уравнения, j -
номер неизвестного при котором стоит
коэффициент); числа
- свободные члены.
Определение 1.
|
Числа
|
называются решением СЛУ (1),
если при подстановке этих чисел вместо
соответствующих неизвестных
(
вместо
)
каждое уравнение системы обращается
в тождество.
Определение 2.
|
СЛУ называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение; система не имеющая решений называется несовместной. Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если имеет более одного решения. |
Определение 3.
|
Две СЛУ называются эквивалентными (равносильными), если всякое решение одной системы является решением другой, а также если обе системы несовместны.
|
Матрицей системы называется матрица A, составленная из коэффициентов при неизвестных:
.
Матрица
,
полученная из матрицы
добавлением столбца свободных членов,
называется расширенной
матрицей системы:
(для удобства столбец свободных членов отделяют вертикальной чертой).
Обозначим матрицу-столбец из неизвестных X, матрицу-столбец из свободных членов B:
.
Тогда СЛУ (1) может быть записана в матричной форме
.
( 2 )
2.2Решение слу методом Крамера.
Будем рассматривать
СЛУ, в которой число уравнений равно
числу неизвестных (m
= n). Матрица этой системы квадратная,
ее определитель
называется главным
определителем
системы.
Теорема (Крамера).
|
Если главный
определитель системы не равен нулю
(
|
),
то система совместна и определенна.
При этом решение системы может быть
найдено по формулам:
(3)
Здесь
-
определитель, полученный из главного
определителя заменой i-го
столбца столбцом свободных членов.
Пример 1. Решить СЛУ
.
Вычислим главный определитель системы (ãë. 1, п. 3)
Так как
,
система совместна и имеет единственное
решение.
Заменяя 1-й столбец в столбцом свободных членов, получим
Аналогично, заменяем столбцом свободных членов второй столбец,
и третий столбец
Теперь, по формулам (3)
2.3Матричный метод решения слу.
Если главный
определитель системы n
уравнений с n неизвестными
не равен 0, то для матрицы A
системы существует обратная матрица
(ãë. 1, п. 6).
Умножая обе части равенства (2) слева
на матрицу
,
получим
.
(4)
Нахождение решения СЛУ по формуле (4) называется матричным методом решения.
Пример 2. Решить СЛУ
.
Матрица системы
,
ее определитель
.
Найдем алгебраические дополнения
элементов определителя (ãë.
1, п. 6)
Составим обратную матрицу
Теперь по формуле (4)
Итак,
Замечание. Отметим, что и метод Крамера, и матричный метод применимы только для СЛУ, в которых число уравнений равно числу неизвестных, и при этом главный определитель системы не равен нулю.