6.5. Использование теории исследования операций для расчета оптимальных параметров системы запасообразования

Многообразие экономико-математических методов планирования запасов предполагает их классификацию по различным признакам: типу исходной информации, критерию оптимизации; ассортиментному составу запасов; структуре системы снабжения; характеру процессов запасообразования (рис. 6.18).

При выборе метода оптимизации для практического использования основными критериями выступают максимально точное описание реальных процессов и доступность исходной информации. Массовое использование даже самых простых моделей возможно лишь с привлечением компьютерных технологий к под готовке исходной информации и расчетам и при соответствую щем программном обеспечении. Безусловно, практическую цен ность это будет иметь, если получаемая экономия финансовых средств превысит внедренческие и эксплуатационные затраты.

Классическая модель оптимизации запасов Уилсона (дегерминированные условия закупок и потребления) была пред ложена в 1915 г. и до настоящего времени остается актуальной. По сути она дала целое направление в исследовании операций и эптимизации запасов. Малое количество проблем описано в экономической литературе так подробно, как оптимизация объемов заказа. Появилось множество модификаций модели за счет включения дополнительных факторов. Усложнение затруд­нило ее практическое применение, поскольку для расчетов не всегда хватает необходимой информации. Вывод формулы ос­новывается на необходимости минимизации затрат на закупку продуктов и их содержание на складе и классическом матема­тическом анализе.

Движение запасов в общем случае выражается функцией, определяемой начальным запасом и условиями поступления и потребления продуктов. Аналитически оно выражается урав­нением

Модели оптимизации запасов в той или иной форме основы­ваются на этом простейшем балансовом уравнении. Варианты развивают и конкретизируют его, наделяя параметры поставок и отпусков определенными свойствами, и используют различ­ные критерии управления запасами.

Классическая модель Уилсона позволяет установить опти­мальные параметры управления запасами в идеальных услови­ях, когда все поставки имеют одинаковый объем и периодич­ность, потребление равномерно во времени, затраты по завозу одной партии не зависят от ее величины, а затраты по хранению единицы продукта — от общей величины запаса. Движение за­паса в таких условиях характеризуется уменьшением его от максимального уровня, равного объему партии поставки, до минимального, равного нулю или сумме подготовительного и страхового запасов, перед очередной поставкой (рис. 6.19).

Эта модель позволяет рассчитать партию, периодичность поставок и норму текущего запаса, при которых достигается минимум затрат по содержанию запаса и организации завоза. Определяющим параметром выступает партия поставки, на основании которой рассчитываются два других оптимальных параметра.

Найти оптимальную партию поставки означает рассчитать ее величину, соответствующую минимуму целевой функции из­держек И:

Расходы по хранению расчитываются исходя из средней величины находящегося на складе запаса и стоимости хранения его единицы в течение планового периода (года, квартала). Поскольку в данном случае речь идет о формировании запаса в элементарных условиях, то средний запас будет равен половине партии поставки:

Расходы, связанные с завозом продуктов, определяются как произведение стоимости завоза одной партии Сзав и количества поставок в плановом периоде n:

Такким образом, общая сумма затрат, связанных с образованием запасов, определяется поп формуле

В данной функции содержится единственная неизвестная величина Q, от которой зависит размер запаса. Задача заключается в минимизации функции затрат. Последняя дифференцируется относительно Q, а найденная производная приравнивается к нулю:

В результате решения уравнения получается формула оптимальной партии поставки, или формула Уилсона

Оптимальный средний текущий запас составить половину этой партии:

Эти величины могут служить ориентиром при определении параметров договоров.

Как уже говорилось ранее, расчет удельных затрат по хране­нию запасов — занятие весьма трудоемкое, чаще их определя­ют экспертным путем в процентах к стоимости среднего запаса. В этом случае формула Уилсона незначительно модифицируется:

Модель Уилсона можно использовать не только в управле­нии поставками, но и при определении оптимальной партии за­пуска материалов в производство или отпуска товаров покупа­телю, когда величина запасов зависит в первую очередь от усло­вий потребления продуктов. Расходы, связанные с организаци­ей поставки, выступают в данном случае в форме издержек по переналадке оборудования или включают последние в свой сос­тав наряду с другими статьями. Вместо объема поступления ис­пользуется величина отпуска или объем производства.

Пример. Завод выпускает металлопрокат на одном и том же оборудова­нии. При переходе к выпуску другого типосорторазмера предприятие несет затраты по переналадке, равные в среднем 300 тыс. руб. Потребность в метал­лопрокате каждого типосорторазмера составляет 10 ООО т в год, издержки со­держания сбытового запаса — 1 % стоимости продукции, находящейся в запа­се. Требуется найти оптимальные партию запуска изделий в производство и величину текущего сбытового запаса, если себестоимость 1 т проката в сред­нем равна 15 ООО тыс. руб.

Несмотря на простоту, применение формулы Уилсона имеет ограничения, и для этого есть немало причин:

• формула требует плановых значений годовой потребности в материалах или продуктах. На практике эти данные не всегда можно получить, в лучшем случае определяют квартальную по­требность, однако этого недостаточно;

• в течение года затраты по завозу и хранению, а также цена закупаемого продукта не могут оставаться неизменными, пре­жде всего из-за инфляции;

• строгое соблюдение рассчитанной оптимальной партии также невозможно по ряду причин: а) из-за ограниченных про­изводственной мощности собственных цехов, спроса и возмож­ностей поставщика, которые могут оказаться больше или мень­ше оптимальной партии; б) ограниченной способности склада; в) ограниченных оборотных средств на закупку материалов или товаров у предприятия;

• далеко не всегда система учета на предприятии позволяет, быстро и точно рассчитать входящие в формулу издержки.

В последнем примере показана возможность определения издержек содержания запаса в процентах к его стоимости. Дру­гим вариантом, позволяющим избежать трудоемкого учета этих издержек, является расчет среднего значения соотноше­ния издержек завоза к затратам на хранение в целом по складу, поскольку в формулу Уилсона входит именно это соотношение. Конечно, его величина зависит от того, что за продукты хранят­ся на складе, но если речь идет об универсальных многоассорти­ментных складах, то она стремится к постоянной величине , которую можно вычислить по фактическим данным о по­ставках в предыдущих периодах.

Предполагая, что условия поставок достаточно стабильны, запишем:

Наличие дефицита продуктов привносит особенности в мо­дель Уилсона. Общий случай движения текущего запаса в усло­виях дефицита отражен на рис. 6.19.

Предполагается, что неудовлетворенный спрос откладыва­ется и удовлетворяется по мере поступления продукта в органи­зацию. Начальный запас 3₀ в условиях, допускающих дефицит, меньше Q. Дефицит равен разности Q - 3₀. Интервал времени т между двумя поставками делится на два участка: т₁, когда на складе есть запас, и т₂ — период дефицита.

Критерием оптимальности партии поставки и запаса в этих условиях являются минимальные суммарные затраты по хра­нению запаса, организации завоза и потери от дефицита:

Издержки, связанные с хранением запаса, могут быть рас­считаны по аналогии с классической моделью, однако с учетом того, что продукт находится в запасе лишь часть периода:

Потери из-за дефицита рассчитываются как дополнитель­ные затраты, связанные с последствиями допущения среднего дефицита (Q-З0) / 2 в течение времени T2=T-T1:

Расходы по завозу останутся теми же, что в элементарных условиях классической модели.

Общие затраты, таким образом, равны:

Поскольку Т жТх однозначно определяются исходя из сред­несуточного расхода продукта и значений Зо и Q - Зо, то данная функция содержит две неизвестные — 3q и Q. Для ее оптимиза­ции необходимо приравнять к нулю две частные производные по неизвестным, а затем решить систему двух уравнений. В ре­зультате получается следующая формула оптимального разме­ра партии поставки в условиях дефицита:

Основой для построения вероятностных аналитических мо­делей управления запасами являются статические модели при случайном спросе на товар. Эти модели имеют и самостоятель­ную область применения в управлении сезонными запасами, за­пасами запчастей и скоропортящихся продуктов.

Организации, закупая уникальное оборудование, заказыва­ют вместе с ним запасные части по цене Ц за единицу. Если за­пасных частей будет закуплено недостаточно, то в случае полом­ки оборудования организации понесут потери в размере С_деф при нехватке одной запасной детали. Однако если во время эксплуа­тации оборудования запасные части не будут использованы, они полностью обесценятся. Задача отдела логистики — определить оптимальную партию закупки запасных частей Q*. При этом следует учитывать случайный спрос, который характеризуется тем, что вероятность выхода из строя m деталей равна Q_a.₃(m).

Поскольку спрос носит вероятностный характер, выразим математическое ожидание издержек H(Q), которые складыва­ются из затрат на закупку запасных частей и потерь от дефици­та в случае их нехватки:

В рассмотренном случае созданные сверх потребности запа­сы продуктов полностью обесцениваются. Если при неиспользо­вании продукта возможна его реализация по цене Ц1<Ц (заку­почной), выражение (6.32) преобразуется и оптимальная пар­тия закупки рассчитывается из следующего неравенства:

В торговле часто приходится решать задачу оптимальной партии закупки товара и, соответственно, оптимального то­варного запаса при случайном спросе с использованием в качес­тве критерия максимума прибыли (в исследованиях операций она называется «задачей о новогодней елке»).

Если организация закупает товар, спрос на который носит случайный характер, по цене Ц, а продает по цене Ц2, то нереа­лизованная продукция полностью обесценивается. Величина прибыли от реализации составляет разницу между выручкой от реализации и суммой, затраченной на покупку товара, что вы­ражается следующей целевой функцией прибыли:

В результате оптимизации целевой функции получаем вы­ражение для вычисления партии закупки товара, обеспечиваю­щей предприятию максимальную прибыль:

Общий вариант задачи управления запасами при случайном спросе представляет ситуация, когда организация несет поте­ри от дефицита, а остатки товара реализуются по снижен­ной цене Ц1. Партия заказа, дающая максимальную прибыль, рассчитывается по формуле