- •Глава 3
- •§1. Производная числовой функции одного действительного переменного
- •1.1. Определение производной. Ее физическая и геометрическая интерпретация
- •1.2. Вычисление производных для основных элементарных функций Операция нахождения производной функции называется дифференцированием функции.
- •2. Степенная функция: (где – любое действительное число). Область изменения х зависит от , она была указана в гл.1, §4, п.4.1. Придадим х приращение х, тогда новое значение у будет
- •1.3. Производная обратной функции
- •1.4. Простейшие правила вычисления производных
- •1.5. Теорема о непрерывности функции, имеющей производную
- •1.6. Производная сложной функции
- •1.7. Производная показательно – степенной функции
- •1.8. Производная неявно заданной функции
- •1.9. Производная функции, заданной параметрически
- •1.10. Односторонние производные
- •1.11. Бесконечные производные
- •1.12. Таблица основных формул для производных
- •§2. Дифференциал числовой функции одного действительного переменного
- •2.1. Определение дифференциала и его геометрический смысл
- •2.2. Основные формулы и правила дифференцирования
- •2.3. Инвариантность формы дифференциала
- •2.4. Использование дифференциала для приближенных вычислений
- •§3. Производные и дифференциалы высших порядков
- •3.1. Определение производной n-го порядка
- •3.2. Вычисление производной n-го порядка
- •3.3. Формула Лейбница для n-й производной произведения двух функций
- •3.4. Дифференциалы высших порядков
- •3.5. Параметрическое дифференцирование
- •§4. Основные теоремы дифференциального исчисления
- •4.1. Теорема Ролля (теорема о корнях производной)
- •4.2.1. Условие постоянства функции
- •4.2.2. Условие монотонности функции
- •Рассмотрим теперь вспомогательную функцию
- •§5. Применения дифференциального исчисления
- •5.1.1. Раскрытие неопределенности вида
- •5.1.2. Раскрытие неопределенности вида
- •5.1.3. Раскрытие неопределенностей других видов
- •5.2. Формула Тейлора
- •Далее, вспоминая, что
- •5.3. Разложение по формуле Тейлора некоторых элементарных функций
- •5.4. Интерполяционный полином Лагранжа
- •5.4.1. Установление функциональной зависимости
- •5.4.2. Аппроксимация функций
- •5.5. Исследование функции и построение графика
- •5.5.1. Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба
- •5.5.2. Максимумы и минимумы функции.
- •5.5.3. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке
- •5.5.4. Асимптоты
- •5.5.4.1. Вертикальные асимптоты
- •5.5.4.2. Горизонтальные асимптоты
- •5.5.4.3. Наклонные асимптоты
- •5.5.5. Схема исследования функции и построения графика
- •Упражнения
§4. Основные теоремы дифференциального исчисления
4.1. Теорема Ролля (теорема о корнях производной)
Теорема Ролля. Если функция y = f(х): 1) определена и непрерывна на сегменте [a,b], 2) дифференцируема в каждой точке интервала (a,b), 3) на концах сегмента принимает равные значения f (a) = f (b), то внутри сегмента [a,b] найдется по крайней мере одна точка ξ, производная в которой f ′(ξ) равна нулю.
С геометрической точки зрения это означает, что внутри сегмента найдутся такие точки ξ, что касательная к кривой в этих точках параллельна оси Ох (рис.18).
Доказательство. Так как функция f(х) непрерывна на отрезке [a,b], то, по 2-ой теореме Вейерштрасса (гл.1, §12, п.12.9), она имеет на этом отрезке наибольшее значение М и наименьшее значение m (рис.18).
Если M = m, то функция f(х) при всех значениях х из промежутка [a,b] имеет постоянную величину f(х) = f(a) = f(b) = М. Но тогда в любой точке отрезка будет f ′(x) = 0, и теорема доказана.
Рис. 18
Предположим, что M m. Мы знаем, что оба эти значения функцией достигаются, но, так как f(a) = f(b), то хоть одно из них достигается в некоторой точке ξ между а и b. Для определенности предположим, что f(ξ) = М. Тогда, так как f(ξ) – наибольшее значение функции, то f(ξ + x) – f(ξ) 0 как при Δх 0, так и при x 0.
Отсюда следует, что
при x 0,
при x 0.
Так как по условию теремы производная при х = ξ существует, то, переходя к пределу при x 0, получим
при x 0,
при x 0.
Но соотношения f ′(ξ) ≤ 0 и f ′(ξ) ≥ 0 совместимы лишь в том случае, если f ′(ξ) = 0. Следовательно, внутри отрезка [a,b] имеется точка ξ, в которой производная f ′(ξ) = 0.
Замечания: 1. Из доказательства теоремы Ролля вытекает справедливость следующего утверждения, которое носит название теоремы Ферма.
Теорема Ферма. Пусть функция f(х) определена в некотором промежутке [a,b] и во внутренней точке этого промежутка принимает наибольшее (наименьшее) значение. Если существует конечная производная f ′(ξ) в этой точке, то необходимо f ′(ξ) = 0.
2. Точек, в которых производная функции равна нулю, может быть больше одной.
Например, функция у = sin х:
на сегменте [0,2 непрерывна
имеет производную на интервале (0,2);
3) f (0) = f (2) = 0;
у' = cosx, cosx = 0, при .
Таким образом, на [0,2 имеются две точки , в которых f ' = 0.
3. Если функция не удовлетворяет хотя бы одному из трех условий теоремы, то теорема не выполняется.
Например, функция x,
непрерывна на сегменте , 2) f (1) = f (1) = 1,
Но в точке х = 0 заданная функция производной не имеет. Для этой функции теорема Ролля на не выполняется.
4.2. Формула Лагранжа (формула конечных приращений)
Большое значение в анализе и его приложениях имеет следующая теорема, принадлежащая Лагранжу.
Теорема Лагранжа. Если функция у = f(х):
непрерывна на сегменте [a,b],
дифференцируема в каждой точке интервала (a,b), то внутри сегмента [a,b] существует, по крайней мере, одна такая точка ξ, что справедлива формула
где а < ξ < b. (3.31)
Формулу (3.31) которую обычно записывают в виде
(3.32)
называют формулой Лагранжа или формулой конечных приращений. Подчеркнем, что в формуле (3.31) и (3.32) не обязательно считать, что b > a.
Геометрическая интерпретация теоремы дана на рис.19. Отношение равно угловому коэффициенту k = tg секущей, проходящей
через точки А(а, f(a)) и В(b, f(b)) кривой у = f(х), а есть угловой коэффициент касательной к кривой у = f(х), проходящей через точку С(ξ, f(ξ)). Формула Лагранжа (3.31) означает, что на кривой у = f(х) между точками А и В найдется такая точка С, касательная в которой параллельна секущей АВ.
Рис. 19
Заметим, что теорема Ролля является частным случаем теоремы Лагранжа (при f(а) = f(b) и касательной параллельной оси Ох). Теорему Лагранжа называют также теоремой о среднем значении (в дифференциальном исчислении).
Доказательство. Рассмотрим на сегменте [a,b] следующую вспомогательную функцию:
(3.33)
Эта функция удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля. В самом деле, она непрерывна в [a,b], так как представляет собой разность между непрерывной функцией f(х) и линейной функцией. В интервале (a,b) она имеет определенную конечную производную, равную
Наконец, непосредственной подстановкой в формулу (3.33) убеждаемся, что , т.е. F(x) принимает равные значения на концах промежутка.
Следовательно, к функции F(x) можно применить теорему Ролля и утверждать существование в (a,b) такой точки ξ, что = 0. Таким образом, что и требовалось доказать.
Часто удобно бывает записывать формулу Лагранжа в виде, несколько отличном от (3.32). Пусть f(x) удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа. Зафиксируем любое х0 из сегмента [a,b] и зададим ему приращение Δх произвольное, но такое чтобы значение (х0+Δх) также лежало на сегменте [a,b]. Применим формулу Лагранжа к сегменту [х0, х0 +Δх] при Δх > 0. Число ξ, заключенное в этом случае между х0 и х0 + Δх, можно представить так: , где 0 < θ < 1. Тогда формула Лагранжа примет вид:
или (0 < θ <1). (3.34)
Формула Лагранжа в виде (3.34) дает точное выражение для приращения функции через вызвавшее его произвольное конечное приращение Δх аргумента. Отсюда проистекает и самое название «формула конечных приращений». Эта формула противопоставляется приближенному равенству (§2, п.2.1):
относительная погрешность которого стремится к нулю лишь при бесконечно малом Δх. Некоторым неудобством формулы Лагранжа является то, что в ней фигурирует неизвестное нам число (или ). Это не мешает, однако, многообразным применением этой формулы в анализе. В качестве примера рассмотрим следующие утверждения, справедливость которых непосредственно вытекает из формулы Лагранжа.