5.5. Исследование функции и построение графика

В §4 (п.4.2.1 и п.4.2.2) мы уже рассмотрели условия постоянства и монотонности функции на некотором отрезке [a,b]. Однако применением понятия производной можно достигнуть дальнейшего уточнения характера возрастания и убывания функции на отрезке [a,b], если учесть направление вогнутости графика функции и положение точек перегиба.

5.5.1. Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба

Определение 1. Кривая, соответствующая функции f(x), называется выпуклой (или вогнутой) на [a,b], если все ее точки лежат, ниже (рис.24,а) (или выше (рис.24,б)) любой ее касательной на этом отрезке.

Рис. 24

Справедлива следующая теорема.

Теорема 1. Если в [a,b] функция f(x) является дважды дифференцируемой, то при или , x [a,b], функция выпукла или вогнута на [a,b].

Содержание теоремы можно иллюстрировать геометрически. Рассмотрим кривую y = f(x), обращенную выпуклостью вверх на отрезке [a,b] (рис.24,а). Производная равна тангенсу угла наклона α касательной в точке с абсциссой x, т.е. tg α. Поэтому [tg α]_х΄. Если для всех x на отрезке [a,b], то это значит, что tg α убывает с возрастанием x. Геометрически нагляден тот факт, что если tg α убывает с возрастанием x, то соответствующая кривая выпукла.

Подобным же образом иллюстрируется геометрически и условие вогнутости кривой (рис.24,б).

Определение 2. Точка М, отделяющая выпуклую часть непрерывной кривой от вогнутой, называется точкой перегиба кривой (рис.24,в).

Очевидно, что в точке перегиба касательная, если она существует, пересекает кривую, так как с одной стороны от этой точки кривая лежит под касательной, а с другой стороны – над нею. Установим теперь достаточные условия того, что данная точка кривой является точкой перегиба.

Теорема 2. Пусть кривая определяется уравнением y = f(x). Если или не существует и при переходе через значение x = x₀ производная меняет знак (первая производная при этом знака не изменяет), то точка кривой с абсциссой x = x₀ есть точка перегиба.

Доказательство. 1) Пусть при x < x₀ и при x > x₀. Тогда при x < x₀ кривая обращена выпуклостью вверх и при x > x₀ – выпуклостью вниз. Следовательно, точка кривой с абсциссой x = x₀ есть точка перегиба. Первая производная , в этом случае, не изменяя своего знака, при x < x₀ убывает, а при x > x₀ – возрастает.

2) Если при x < x₀ и при x > x₀, то при x < x₀ кривая обращена выпуклостью вниз, а при x > x₀ – выпуклостью вверх. Следовательно, точка кривой с абсциссой x = x₀ есть точка перегиба. Первая производная при этом для x < x₀ возрастает, а для x > x₀ – убывает. Знак как слева, так и справа от точки x₀ сохраняется.

Замечание. Для наличия перегиба (если предположить существование второй производной) условие является необходимым, но не достаточным.

Если функция f(x), определенная и непрерывная в промежутке [a,b], не является в нем монотонной, то найдутся такие части [α,β] промежутка [a,b], в которых наибольшее или наименьшее значение достигается функцией во внутренней точке, т.е. между α и β. На графике функции (рис.21 и рис.22) таким промежуткам соответствуют характерные горбы или впадины. Этим понятиям посвящен следующий раздел.