1.6. Производная сложной функции

Теорема. Пусть 1) функция v  x) имеет в некоторой точке x производную , 2) функция y = f(v) имеет в соответствующей точке v производную Тогда сложная функция у = f(x)) в упомянутой точке х также будет иметь производную, равную произведению производных функций f(v) и x): [ f( x)) ]' = или короче

(3.7)

Доказательство. Придадим х произвольное приращение Δх; пусть Δv – соответствующее приращение функции v = (x) и, наконец, Δу – приращение функции y = f(v), вызванное приращением Δv. Воспользуемся соотношением (3.6), которое, заменяя x на v, перепишем в виде ( зависит от Δv и вместе с ним стремится к нулю). Разделив его почленно на x, получим

.

Если x устремить к нулю, то, согласно (3.6) (при условии, что у = v), будет стремиться к нулю и Δv, а тогда, как мы знаем, будет также стремиться к нулю зависящая от Δv величина . Следовательно, существует предел

,

который и представляет собой искомую производную .

Таким образом, производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную внутренней функции.

Случай сложной функции, полученной в результате нескольких суперпозиций, исчерпывается последовательным применением правила (3.7). Так, если у = f(u), u = (v), v =  (x), то

. (3.8)

Примеры. 1. Пусть y = log_a sin x, иначе говоря, y = log_a v, где v = sin x. По правилу (3.7)

.

2. , т.е. y = e^u, u = v², v = sin x. По правилу (3.8)

.

1.7. Производная показательно – степенной функции

Пусть u = u(x) > 0 и v = v(x) – функции, имеющие производные в фиксированной точке x. Найдем производную функции y = u^v. Логарифмируя это равенство, получим: ln y = v ln u.

Продифференцируем обе части данного равенства по x:

.

Отсюда , или

. (3.9)

Таким образом, производная показательно – степенной функции состоит из двух слагаемых: первое слагаемое получается, если при дифференцировании предположить, что и есть функция от х, а v есть постоянная (т.е. рассматривать u^v как степенную функцию); второе слагаемое получается, если предположить, что v есть функция от х, а u = const (т.е. рассматривать u^v как показательную функцию).

Примеры. 1. Если y = x^{tg x}, то, полагая u = x, v = tg x, согласно (3.9) имеем

= tg x x^{tg x – 1} + x^{tg x} ln x sec²x.

Прием, примененный в данном случае для нахождения производной и состоящий в том, что сначала находят производную логарифма рассматриваемой функции, широко применяется при дифференцировании функций: при отыскании производной функции эти функции сначала логарифмируют, а затем из равенства, полученного после дифференцирования логарифма функции, определяют производную функции. Такая операция называется логарифмическим дифференцированием.

2. Требуется найти производную от функции

.

Логарифмируя, находим:

ln y = 2 ln (x + 1) + ln (x – 1) – 3 ln (x + 4) – x.

Дифференцируем обе части последнего равенства:

.

Умножая на у и подставляя вместо у, получаем:

.

1.8. Производная неявно заданной функции

Неявная форма записи функциональной зависимости имеет вид

F(x, y) = 0.

Чтобы найти производную неявной функции y = y(x), нужно взять производную от обеих частей равенства F(x, y) = 0, считая у функцией от х, и полученное уравнение разрешить относительно .

Допустим, что функция задана уравнением .

Если здесь у есть функция от х, определяемая этим равенством, то это равенство есть тождество.

Дифференцируя обе части этого тождества по х, считая, что у есть функция от х, получим:

откуда

.

Из приведенного примера следует, что для нахождения значения производной неявной функции при данном значении аргумента х нужно знать и значение функции у при данном значении х.

Рассмотрим еще один пример. Опредилим уравнения касательной и нормали к кривой второго порядка, заданной уравнением (гипербола) в точке М₀ (x₀, y₀).

Уравнение прямой с угловым коэффициентом k, проходящий через точку М₀ (x₀, y₀) имеет вид (см. книга 3, гл.2, §7) .

Для касательной (см. §1, п.1.1.) , поэтому уравнение касательной имеет вид

( ).

Наряду с касательной к кривой в данной точке очень часто приходится рассматривать нормаль.

Определение. Нормалью к кривой в данной точке называется прямая, проходящая через данную точку, перпендикулярную к касательной в этой точке.

Из определения нормали следует, что ее угловой коэффициент k_n связан с угловым коэффициентом k_t касательной равенством (см. книга 3, гл.2, §11)

, т.е. .

Следовательно, уравнение нормали к кривой в точке М₀(x₀,y(x₀)) имеет вид

.

Теперь из уравнения гиперболы, рассматривая его как уравнение, неявно задающее функцию y и x, находим в точке x₀, т.е. . Для этого сначала дифференцируем уравнение гиперболы, считая y функций от x, затем выражаем и подставляем значение x = x₀:

.

Итак, окончательно имеем

– уравнение касательной.

– уравнение нормали.