- •Глава 3
- •§1. Производная числовой функции одного действительного переменного
- •1.1. Определение производной. Ее физическая и геометрическая интерпретация
- •1.2. Вычисление производных для основных элементарных функций Операция нахождения производной функции называется дифференцированием функции.
- •2. Степенная функция: (где – любое действительное число). Область изменения х зависит от , она была указана в гл.1, §4, п.4.1. Придадим х приращение х, тогда новое значение у будет
- •1.3. Производная обратной функции
- •1.4. Простейшие правила вычисления производных
- •1.5. Теорема о непрерывности функции, имеющей производную
- •1.6. Производная сложной функции
- •1.7. Производная показательно – степенной функции
- •1.8. Производная неявно заданной функции
- •1.9. Производная функции, заданной параметрически
- •1.10. Односторонние производные
- •1.11. Бесконечные производные
- •1.12. Таблица основных формул для производных
- •§2. Дифференциал числовой функции одного действительного переменного
- •2.1. Определение дифференциала и его геометрический смысл
- •2.2. Основные формулы и правила дифференцирования
- •2.3. Инвариантность формы дифференциала
- •2.4. Использование дифференциала для приближенных вычислений
- •§3. Производные и дифференциалы высших порядков
- •3.1. Определение производной n-го порядка
- •3.2. Вычисление производной n-го порядка
- •3.3. Формула Лейбница для n-й производной произведения двух функций
- •3.4. Дифференциалы высших порядков
- •3.5. Параметрическое дифференцирование
- •§4. Основные теоремы дифференциального исчисления
- •4.1. Теорема Ролля (теорема о корнях производной)
- •4.2.1. Условие постоянства функции
- •4.2.2. Условие монотонности функции
- •Рассмотрим теперь вспомогательную функцию
- •§5. Применения дифференциального исчисления
- •5.1.1. Раскрытие неопределенности вида
- •5.1.2. Раскрытие неопределенности вида
- •5.1.3. Раскрытие неопределенностей других видов
- •5.2. Формула Тейлора
- •Далее, вспоминая, что
- •5.3. Разложение по формуле Тейлора некоторых элементарных функций
- •5.4. Интерполяционный полином Лагранжа
- •5.4.1. Установление функциональной зависимости
- •5.4.2. Аппроксимация функций
- •5.5. Исследование функции и построение графика
- •5.5.1. Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба
- •5.5.2. Максимумы и минимумы функции.
- •5.5.3. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке
- •5.5.4. Асимптоты
- •5.5.4.1. Вертикальные асимптоты
- •5.5.4.2. Горизонтальные асимптоты
- •5.5.4.3. Наклонные асимптоты
- •5.5.5. Схема исследования функции и построения графика
- •Упражнения
5.1.2. Раскрытие неопределенности вида
Для раскрытия этой неопределенности применимо тоже правило Лопиталя: следующая теорема есть простая перефразировка теоремы 1.
Теорема. Пусть: 1) функции f(x) и g(х) определены и дифференцируемы всюду в некоторой окрестности точки х0, за исключением, быть может, самой точки х0, 2) (либо +, –) и производная отлична от нуля всюду в указанной выше окрестности точки х0, 3) существует (конечный или нет) предел , тогда существует и предельное значение , причем справедлива формула:
= . (3.40)
Подобно теореме 1, эту теорему легко распространить на случай, когда х0 является бесконечно удаленной точкой и установить также справедливость следующих формул:
= , (3.41)
= . (3.42)
Доказательство опускаем.
Примеры: 1)
;
2) п-кратным применением правила Лопиталя вычисляется предельное значение
.
Замечания: 1) Отметим еще раз, что формулы (3.40), (3.41) и (3.42) справедливы только в том случае, если существует (конечный или нет) предел отношения производных. Но обращение этих теорем недопустимо и первый предел может существовать при отсутствии второго. Например, существует предел
,
хотя отношение производных, равное , предела при не имеет.
2) Теоремы пп.5.1 и 5.2 остаются справедливыми и для односторонних пределов в точке х0.
5.1.3. Раскрытие неопределенностей других видов
Если мы имеем неопределенности следующих видов: , то все они путем алгебраических преобразований приводятся к виду , для которых можно воспользоваться правилом Лопиталя. Пусть
.
Тогда имеем:
.
Второе из этих выражений представляет при х х0 неопределенность вида третье – неопределенность вида .
Пример 1. .
Если и , то выражение можно привести, например, к неопределенности вида путем следующих преобразований:
.
Часто, впрочем, найти предел этого выражения удается проще.
Пример 2.
В случае неопределенных выражений вида рекомендуется предварительно прологарифмировать.
Пусть и в окрестности точки х0 , тогда
.
Предел представляет собой неопределенность уже изученного типа 0· (или ·0). Допустим, что одним из указанных выше приемов удается найти
, который оказывается равным конечному числу т, + или –. Тогда , соответственно, будет ет, + или 0.
Пример 3. Вычислить . Положив у = хх, находим:
.
Следовательно, , откуда , т.е. .
Пример 4.
Пусть . Требуется найти при (неопределенность вида ).
Если считать х > 0 (этим предположением, ввиду четности функции у, можно ограничиться), то
.
Пользуясь последовательно дважды правилом Лопиталя, получим:
Откуда .
Заметим, что не все неопределенности можно раскрыть с помощью правила Лопиталя. Например,
.
Однако этот предел можно найти другим способом. Действительно, разделив заданную дробь на ех, получим:
.
5.2. Формула Тейлора
Устанавливаемая в этом параграфе формула является одной из основных формул математического анализа и имеет многочисленные приложения, как в анализе, так и в смежных дисциплинах. Данная формула устанавливает способ приближенного отображения, или, как говорят, способы аппроксимации произвольной функции с помощью полиномов (многочленов), которые являются наиболее простыми среди всех других функций.
Предположим, что функция имеет все производные до (п + 1) порядка включительно в некотором промежутке, содержащем точку х = х0. Найдем многочлен Рп(х) степени не выше п, значение которого в точке х0 равняется значению функции в этой точке, а значения его производных до п-го порядка в точке х = х0 равняются значениям соответствующих производных от функции в этой точке.
(3.43)
Естественно ожидать, что такой многочлен в некотором смысле «близок» к функции .
Будем искать этот многочлен в форме многочлена по степеням (х – х0) с неопределенными коэффициентами
(3.44)
Неопределенные коэффициенты ci, i = 0, 1, 2, …, п определим так, чтобы удовлетворялись условия (3.43).
Предварительно найдем производные от Рп(х):
(3.45)
Подставляя в левые и правые части равенств (3.44) и (3.45) вместо х значение х0 и заменяя на основании равенств (3.43) Рп(х0) через и т.д., получим:
Подставляя найденные значения сi в формулу (3.44), получим искомый многочлен: . (3.46)
Многочлен (3.46) называют многочленом Тейлора для функции . Обозначим через Rn+1(х) разность значений данной функции и построенного многочлена Pn(x): Rn+1(х) = – Pn(x).
Откуда = Pn(x) + Rn+1(х), или, в развернутом виде:
. (3.47)
Выражение (3.47) называют формулой Тейлора для функции в окрестности точки х0, а Rn+1(х) – остаточным (дополнительным) членом формулы Тейлора. Для тех значений х, для которых остаточный член Rn+1(х) мал, многочлен Pn(x) дает приближенное значение функции .
Таким образом, формула (3.47) дает возможность заменить функцию
у = многочленом у = Pn(x) с соответствующей степенью точности, равной значению остаточного члена Rn+1(х). Можно показать, что такое представление функции единственно, т.е., что, если имеем одновременно, вблизи х0,
,
,
то необходимо А0 = В0, А1 = В1,…, Ап = Вп.
Для остаточного члена получено довольно много различных форм представления, одно из которых имеет вид:
, (3.48)
где т – произвольное положительное число, – число, заключенное в интервале (0,1) и зависит не только от х и п, но также и от т. Остаточный член, записанный в виде (3.48), принято называть остаточным членом в общей форме.
Из него, придавая т конкретные значения, можно получить более частные формы остаточного члена. Положив т = п + 1, получим остаточный член в форме Лагранжа:
. (3.49)
Он напоминает следующий очередной член формулы Тейлора, лишь вместо того, чтобы вычислять (п + 1)-ю производную в точке х0, эту производную берут для некоторого среднего (между х0 и х) значения .
При т = 1 приходим к остаточному члену в форме Коши.
(3.50)
Так как формы Лагранжа и Коши отвечают разным значениям m, а θ зависит от m, то значения θ в формулах (3.49) и (3.50) является, вообще говоря, различными. Обе формы остаточного члена (Лагранжа и Коши) обычно используются в тех случаях, когда требуется при тех или иных фиксированных значениях х, отличных от х0, приближенно вычислить функцию с наперед указанной степенью точности, которую можно оценить по формулам (3.49) и (3.50) для данного х, а также воздействовать на нее за счет изменения n. Наряду с этим встречаются задачи в которых нас интересует не численная величина указанной ошибки, а лишь порядок ее относительно малой величины (х – х0). Для этой цели удобна форма записи остаточного члена в виде
. (3.51).
Данная формула означает, что при стремлении х к х0 остаточный член представляет собой бесконечно малую порядка выше n-го по сравнению с (х – х0), т.е. Равенство (3.51) называют остаточным членом, представленным в форме Пеано.
Формулу Тейлора (3.47) часто записывают в несколько ином виде. Положив в (3.47) (х – х0) = Δх, х = х0 + Δх и f (х) – f (х0) = Δf (х0) получаем
(3.52)
с точностью до дополнительного члена, таким образом, приращение функции разложено по степеням приращения независимой переменной.