Упражнения

1. Найти производные следующих функций:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) ;

ж) .

2. Найти производные следующих функций, заданных неявно:

а) ; б) ; в) , .

3. Найти уравнение касательной и нормали к кривым второго порядка, проходящих через точку М₀ (x₀, y₀) и лежащую на этих кривых:

а) – эллипс; б) – парабола.

4. Найти производные следующих функций, заданных параметрически:

а) , ; б) , ;

в) , .

5. Проверить выполнение условий теоремы Лагранжа (частный случай Ролля) для функций:

а) , на отрезке [–1,1]; б) , x[0,1];

в) , и x[0, π].

Если функция удовлетворяет условиям теоремы, найти промежуточное значение ξ.

6. Пользуясь правилом Лопиталя вычислить следующие пределы:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

7. Используя формулу Тейлора вычислить с точностью до 0.001 следующие значения:

а) ; б) ; в) ; г) .

8. Найти наибольшее и наименьшее значения функций:

а) , ; б) , ;

в) , .

9. Определить наибольшую площадь равнобедренного треугольника, если: а) боковая сторона треугольника равна μ; б) треугольник вписан в круг радиуса R.

10. Построить графики следующих функций:

а) ; б) ; в) .