§ 1. Проекция вектора на ось и ее свойства.
Ось
- это прямая, на которой:
а) задан орт (т.е. указано направление и выбран масштаб),
б) отмечено начало отсчета (точка О).
1
1
1
1
Пусть точка A1 - проекция точки A на ось , B1 - проекция точки B на ось (основания перпендикуляров, опущенных соответственно из точек A и B на ось ).
Компонентой
вектора
вдоль оси
называется вектор
,
где A1 - проекция
точки
A на ось , B1 - проекция точки B на ось .
Проекцией вектора
на ось
называется число, равное
,
взятому со знаком «+», если компонента
одинаково направлена с ортом
и взятому со знаком «-», если компонента
противоположно направлена с ортом
:
=
Из этого определения
следует равенство:
Теорема. Пусть = , - угол между вектором и осью . Тогда
1.
+
)
=
+
2.
= λ
3. = 0
§ 2. Скалярное произведение векторов и его свойства.
Скалярным произведением векторов и называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними. Обозначение: .
=
cos
Геометрический смысл скалярного произведения:
=
=
=
,
=
Если - орт некоторой оси , то =
Проекция вектора на ось равна скалярному произведению этого вектора на орт этой оси.
1. = (коммутативность)
2. (λ ) = λ( ) (ассоциативность относительно умножения на число)
3. ( + ) = + (дистрибутивность)
4.
=
(скалярный квадрат)
5. = 0 (условие ортогональности векторов)
6. > 0 - острый угол; < 0 - тупой угол
Пример.
Найти модуль вектора , если известно:
= 2
-
+
,
= 2 ,
= 3,
= 4,
=
,
=
,
=
.
= = (2 - + )(2 - + ) = 4 - 2 + 2 - 2 + - + 2 - + =
=
4
- 4
+ 4
-2
+
+
= 422
- 423
+ 4240
- 234
+ 33 +
44 =
= 16 + 12 + 0 - 12
+ 9 + 16 = 53 - 12
=
.
Пример.
Найти длины его диагоналей d1 и d2 параллелограмма, построенного на векторах и , если
=
- 3
,
= 2
+
,
= 2,
= 3,
=
.
d1
d2
d1
=
,
d2 =
;
= 3
- 2
,
= -
- 4
;
d12
= (3
- 2
)(
)
= 9
- 12
+ 4
= 922
- 12230,5
+ 433
= 36 d1
= 6.
d22
= (-
- 4
)(-
)
=
+ 8
+ 16
= 22 + 8230,5
+ 1633
= 172 d2
=
.
Теорема косинусов.
В произвольном треугольнике квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:
a2 = b2 + c2 - 2bc cos A, b2 = a2 + c2 - 2ac cos B, c2 = a2 + b2 - 2ab cos C.
Доказательство.
=
-
,
+
=
,
+
=
a
=
=
,
b
=
=
,
c
=
=
a2 = 2 = = ( - )( - ) = - 2 + =
= 2 - 2 cos A + 2 = b2 + c2 - 2bc cos A.
Аналогично выводятся остальные формулы.
Следствием
теоремы косинусов является теорема
Пифагора (если
C = 90
,
то cos
C = 0
и c2 = a2 + b2).
Теорема Пифагора.
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.