§ 1. Виды матриц, равенство матриц.
A
m,
n
=
- прямоугольная матрица размером m
n
AT
n,
m
=
- транспонированная матрица размером
n
m
m,
n
=
- нулевая матрица размером m
n
A
1,
n
=
- матрица-строка размером 1
n
A
n,
1
=
- матрица-столбец размером n
1
A
n,
n
=
- квадратная матрица порядка n
A
n,
n
=
- верхнетреугольная матрица порядка
n
A
n,
n
=
- нижнетреугольная матрица порядка
n
D
n,
n
=
- диагональная матрица порядка n
E
n,
n
=
- единичная матрица порядка n
Равенство матриц.
A m,
n
=
, B p,
q
=
A m,
n
= B p,
q
§ 2. Линейные действия с матрицами и их свойства.
К линейным действиям с матрицами относятся: сложение, вычитание матриц и умножение матрицы на число.
1. Сложение и вычитание матриц.
A
m,
n
=
, B m,
n
=
- матрицы одинакового размера.
A
+ B =
- сумма матриц;
A
- B =
- разность матриц.
Пример.
A =
,
B =
A
+ B =
=
,
A -
B =
=
Свойство нулевой матрицы: A + = A - = A
2. Умножение матрицы на число.
A
m,
n
=
,
λ -
действительное число
λ
A =
Пример. A
=
,
λ = 2 2A
= 2
=
.
Умножение матрицы на числа 0 и 1: 0 A = ; 1 A = A.
Противоположная матрица: - A = (-1) A
Свойства противоположной матрицы: A + (- A) = ; A - B = A + (- B).
ами
(A, B, C - матрицы одинаковых размеров; λ, α, β - действительные числа):
1. A + B = B + A (коммутативность сложения матриц)
2. (A + B) + C = A + (B + C) (ассоциативность сложения матриц)
3. α(βA) = (αβ)A (однородность относительно умножения на число)
4. (α + β)A = αA + βA (дистрибутивность относительно сложения чисел)
5. λ(A + B) = λA + λB (дистрибутивность относительно сложения матриц)
§ 3. Умножение матриц и его свойства.
1. Умножение матрицы-строки на матрицу-столбец.
A
1,
n
=
- матрица-строка, B
n,
1
=
- матрица-столбец.
A и B - матрицы разного размера (при n >1), но имеющие одинаковое число элементов.
Пример.
A
=
,
B =
A B = = 31 - 52 + 1(-1) = 3 - 10 - 1 = - 8
2. Умножение согласованных матриц.
Матрицы A и B - согласованы для умножения A B, если число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B:
A m, k и B k, n - согласованные матрицы
A
m,
k
=
=
,
где A i
=
- матрица-строка, i =
1, … , m
B
k,
n
=
=
,
где B j
=
- матрица-столбец , j
= 1, … , n
A m,
k
B
k,
n
= C
m, n =
Пример.
A = , B = ; A B = ? B A = ?
A 2, 3 B 3, 2 = =
=
=
A
B
=
.
B
3,
2
A
2,
3
=
=
=
=
B
A
=
.
Свойство нулевой матрицы: A = , A = (для согласованных матриц A и ).
Свойство единичной матрицы: A E = A, E A = A (для согласованных матриц A и E).
(A, B, C - согласованные матрицы; λ - действительное число):
1. (A B) C = A (B C) (ассоциативность умножения матриц)
2. λ ( A B) = (λ A) B (однородность умножения)
3. (A + B) C = A C + B C (дистрибутивность относительно сложения матриц)
4. A (B + C) = A B + A C (дистрибутивность относительно сложения матриц)
1. (AT)T = A 2. (A + B)T = AT + BT 3. (λ A)T = λ AT 4. (A B)T = BTAT
Для квадратных матриц A n, n введено понятие определителя det A.
Из свойств определителей получаем следующие дополнительные свойства матриц:
1. det (AT) = det A
2. det = 0, det E = 1
3. det (-A) = (-1)n det A
4. det (λA) = λ n det A
Теорема. Определитель произведения двух квадратных матриц одинакового размера равен произведению определителей этих матриц:
Квадратная матрица A называется вырожденной, если ее определитель равен нулю:
A - вырожденная матрица det A = 0
Пример.
A =
- вырожденная матрица, т.к. det
A =
= 12 − 12 = 0
Квадратная матрица A называется невырожденной, если ее определитель не равен нулю:
A - невырожденная матрица det A ≠ 0