§ 3. Векторное произведение векторов и его свойства.

Ориентация тройки векторов.

Упорядоченная тройка некомпланарных векторов , , имеющих общее начало, называется правой тройкой, если поворот от вектора к вектору виден из конца вектора совершающимся против часовой стрелки.

Упорядоченная тройка некомпланарных векторов , , имеющих общее начало, называется левой тройкой, если поворот от вектора к вектору виден из конца вектора совершающимся по часовой стрелке.

правая тройка левая тройка

Векторным произведением векторов и называется вектор , удовлетворяющий следующим трем условиям:

1. ,

2. тройка векторов , - правая тройка

3. =  sin

Обозначение: =

Геометрический смысл векторного произведения.

Модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах:

=

1. = - (антикоммутативность)

2. (λ ) = λ( ) (ассоциативность относительно умножения на число)

3. ( + ) = + (дистрибутивность)

4. = (векторный квадрат)

5.  = (условие коллинеарности векторов)

Пример.

Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах и , если

= - 3 , = 2 + , = 2, = 3, = .

= ;

= ( - 3 ) (2 + ) = 2 - 6 + -3 = 7 ;

= 7 = 723 = 21  = 21.

Пример.

Определить, при каких значениях α и β векторы и будут коллинеарны:

= + 2 , = - , ,

 =  ( + 2 ) ( - ) =

( + 2 ) ( - ) = - + 2 - 2 = - + + 2 = 3 ;

3 =  =  rang = 1 

 = = = 0  .

§ 4. Смешанное произведение векторов и его свойства.

Дана тройка векторов , , .

Смешанным произведением , , называется число, равное скалярному произведению вектора на вектор . Обозначение: .

= ( )

Геометрический смысл смешанного произведения.

М одуль смешанного произведения равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах: =

1. Смешанное произведение векторов , , не меняется при циклической перестановке множителей:

= =

2. Смешанное произведение векторов , , меняет знак при перестановке двух множителей:

= - , = - , = -

3. Необходимым и достаточным условием компланарности векторов является равенство нулю их смешанного произведения:

, , - компланарны  = 0

4. > 0  , , - правая тройка;

< 0  , , - левая тройка

Пример.

Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах , , , если

= 2, = 3, = 4, α = = , β = = , γ = = .

- угол между векторами и

= =   = 2314 cos = 24 ;

cos ² + cos ² β + cos ² γ = 1  cos ² = 1- cos ² β - cos ² γ = 1 - - =  = .

= 24 = 12.

Задачи по теме 2.

. Даны векторы . Известны модули этих векторов и углы между ними:

p = , q = , r = , α = , β = , γ = . Вектор является линейной

комбинацией векторов . Найти модуль вектора .

1. = 2 - 3 , p = 1, q = 2, α = 2. = + 2 , p = 3, r = 1, β =

3. = 2 - , q = 4, r = 2, γ = 4. = - 2 , p = 2, q = 1, α =

5. = + 2 - , p = 1, q = 1, r = 2, α = , β = , γ =

6. = 2 - + , p = 1, q = 2, r = 1, α = , β = , γ =

7. = + 2 + , p = 3, q = 1, r = 2, α = , β = , γ =

8. = 2 - - , p = 1, q = 2, r = 3, α = , β = , γ =

. Даны единичные векторы и угол между ними α = . Векторы и

являются линейными комбинациями векторов . На векторах и построен

параллелограмм. Найти площадь S этого параллелограмма и длины его диагоналей d₁ и d₂.

d₁

d₂

1. = + 3 , = 3 - , α = 2. = 3 + , = - , α =

3. = - 2 , = +4 , α = 4. = + 3 , = - 5 , α =

5. = 2 - , = + 3 , α = 6. = 3 + , = - 5 , α =

7. = - 4 , = 3 + 2 , α = 8. = + 4 , = - 2 , α =

. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах , , , если известны модули этих векторов и углы между ними:

= a, = b, = c, α = , β = , γ = .

1. a = 1, b = 2, c = 3, α = , β = , γ = 2. a = 2, b = 2, c = 3, α = , β = , γ =

3. a = 1, b = 2, c = 4, α = , β = , γ = 4. a = 2, b = 1, c = 2, α = , β = , γ =

5. a = 3, b = 2, c = 2, α = , β = , γ = 6. a = 2, b = 3, c = 3, α = , β = , γ =

7. a = 1, b = 2, c = 4, α = , β = , γ = 8. a = 2, b = 3, c = 2, α = , β = , γ =

Дополнительные задачи.

1. В квадрат ABCD со стороной a вписана окружность. Точка M - произвольная точка этой окружности. Найти сумму MA² + MB² + MC² + MD².

2. Около квадрата ABCD со стороной a описана окружность. Точка M - произвольная точка этой окружности. Найти сумму MA² + MB² + MC² + MD².

3. В куб со стороной a вписана сфера. Точка M - произвольная точка этой сферы. Найти сумму квадратов расстояний от точки M до вершин куба.

4. Найти отношение объема тетраэдра, построенного на некомпланарных векторах , , , к объему тетраэдра, построенного на векторах + , , .

3. Прямоугольная декартова система координат.