§ 6. Определители n-го порядка.
A =
- матрица n -
го порядка,
- элементы матрицы (i
= 1, 2, …, n; j
= 1, 2, …, n).
Mij - минор элемента - это определитель матрицы (n - 1) - го порядка, полученной из данной матрицы n - го порядка путем вычеркивания i -той строки и j - того столбца.
Aij - алгебраическое дополнение элемента .
Теорема. Сумма произведений элементов какой-нибудь строки (или столбца) матрицы n - го порядка на их алгебраические дополнения есть величина постоянная:
+
+ … +
=
+
+
+
, i = 1, 2, … , n,
j = 1, 2, …, n.
Определитель n - го порядка - это число, равное сумме произведений элементов какой-нибудь строки (или столбца) матрицы n - го порядка на их алгебраические дополнения:
det
A =
=
+
+ … +
=
+
+
+
,
i = 1, 2, … , n, j = 1, 2, …, n.
Свойства определителей n-го порядка - такие же, как и для определителей 2-го, 3-го и 4-го порядков (свойства 1÷9).
Пример.
Вычислить определитель n
-го порядка: det A
=
.
Ко всем строкам прибавим первую строку, умноженную на (-1):
det A =
.
Получили определитель треугольной матрицы, который по свойству (9) равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали:
det
A =
1(
)(
)
… (
)
= (
)(
)
… (
).
Пример.
Вычислить определитель n
-го порядка: det A
=
.
(Элементы главной диагонали равны нулю, а все остальные элементы равны 1).
Все строки прибавим к первой строке:
det A =
Из первой строки вынесем общий множитель:
det A =
(
)
Вычтем первую строку из всех остальных строк:
det A
= (
)
=
(
).
Задачи по теме 1.
. Вычислить определители 2-го порядка (довести до числового значения).
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
. Вычислить определители 3-го порядка:
− № 1 ÷ 8 - используя разложение по строке или столбцу;
− № 9 ÷ 16 - используя свойства определителей.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
. Вычислить определители 4-го порядка.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Дополнительные задачи.
1. Найти многочлен:
P(λ) =
и вычислить его корни.
2. Для матрицы A
=
вычислить:
+
+ … +
и
+
+
+
,
где i ≠ j
(
- алгебраическое дополнение элемента
).
Вычислить определители n -го порядка:
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
= min
{i,j}
12.
= max
{i,j}
2. М А Т Р И Ц Ы