§ 2. Линейные действия с векторами в ортонормированном базисе.
1. Пусть даны координаты векторов и относительно О.Н.Б. { }:
,
.
Тогда:
- при умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число;
- при сложении (вычитании) векторов их координаты складываются (вычитаются):
λ
;
λ
;
+
;
.
Условие коллинеарности векторов в координатной форме.
Векторы и коллинеарны тогда и только тогда, когда их
координаты пропорциональны:
Следствие.
2. Пусть даны координаты векторов и относительно О.Н.Б. { }:
,
.
Тогда:
- при умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число;
- при сложении (вычитании) векторов их координаты складываются (вычитаются):
λ
;
λ
;
+
;
.
Условие коллинеарности векторов в координатной форме.
Векторы
и
коллинеарны тогда и только тогда,
когда их
координаты пропорциональны:
Следствие.
§ 3. Произведения векторов в координатах относительно ортонормированного базиса.
Пусть даны координаты векторов и относительно О.Н.Б. { }:
, .
Тогда:
- скалярное произведение;
- векторное произведение.
Пусть даны координаты векторов , и относительно О.Н.Б. { }:
,
,
.
Тогда:
- смешанное произведение.
Если
векторы
,
и
лежат на плоскости, то
,
,
и
- скалярное произведение,
-
векторное произведение,
- смешанное произведение.
Пример.
,
,
.
= -7;
=
+
= 2
+ 4
+
;
=
1
0
2
= 4
0
2 = 2.
Условия ортогональности, коллинеарности и компланарности векторов.
Пусть даны координаты векторов , и относительно О.Н.Б. { }:
, , .
Тогда:
= 0
=
,
,
- компланарны
= 0
Пример.
Определить, при каких значениях λ векторы и будут ортогональны, если
= 2 - , = 3 + 2 , а векторы и заданы своими координатами относительно
О.Н.Б. {
}:
,
.
= 0 (2 - )(3 + 2 ) = 0 6 - 3 + 4 - 2 = 0
4 + 4 - 3 = 0;
= 11 +
+ 00 = 1 +
2;
=
+ 11 + (-1)(-1)
=
2
+ 2;
=
+
+ 0 = 2
;
4(1 +
2)
+ 8
- 3(
2
+ 2) = 0
2
+ 8
- 2 = 0
1,2
= - 4
3
.
Пример.
Определить,
при каких значениях λ векторы
,
и
будут компланарны, если
они заданы своими координатами относительно О.Н.Б. { }:
,
,
.
,
,
- компланарны
= 0 3
= 0
2 - - 2 = 0 1 = - 1, 2 = 2.