§1.6. Электроемкость

Физическую величину, характеризующую способность проводника накапливать на себе заряды, называется электрической ёмкостью (электроемкостью).

Если уединенному проводнику сообщить разное количество зарядов q₁, q₂, q₃,…q_n, то у него появиться потенциалы φ₁, φ₂, φ₃,… φ_n, но при этом всегда (т.е. φ ~ q или q~ φ и q=С φ).

Электроемкостью (С) называют отношение заряда уединенного проводника q к его потенциалу φ:

.

Таким образом, электроемкость уединенного проводника численно равна заряду, изменяющему потенциал проводника на единицу.

Единица электроемкости Фарад(Ф): .

Размерность электроемкости [C]=[q]/[φ]=м^-2кг^-1с⁴А².

С зависит от размеров и форм проводника, но не зависит от материала и его агрегатного состояния. Для геометрически подобных проводниках С прямо пропорционально их линейным размерам. Например, т.к. для шара на расстояние r от точечного заряда и на поверхности однородного шара с радиусом r потенциал поля φ один и тот же, тогда из потенциала точечного заряда q ( ), получаем

C=4π ε₀ ε r.

(Кстати, отсюда , и [ε₀] = фарад на метр)

А также .

Для вакуума ε=1, при С=1Ф и ε₀ =8,85^.10^-12ф/м, получаем, что r ≈ 9^.10⁶!

Т. е. 1Ф – чрезвычайно большая единица электроемкости, поэтому применяются его миллионные и более мелкие части фарада:

1 микрофарад (мкф) =10^-6 фарад, что соответствует r =9 км;

1 пикофарад (пф) = 10^-6 мкф =10^-12 ф, что соответствует r =0,9 см.

У Земли (R ≈ 6400 км), С = 711мкф).

Т.к. в природе нет уединенных проводников, то в широком смысле электроемкость определяется как взаимная электроемкость (или взаимная емкость) между двумя проводниками:

Для двух проводников взаимная электроемкость – это физическая величина, численно равная заряду q, который нужно перенести из одного проводника на другой для того, чтобы изменить на единицу разность потенциалов между ними: φ₁ и φ₂ потенциалы этих проводников. Для уединенных проводников считается, что второй проводник находится в бесконечности, т.е. φ₂ =0.

§1.7. Конденсаторы

Как мы убедились уединенные проводники с большими С имеют большие размеры. Но существуют системы (конденсаторы), которые дают большие С при малых размерах.

Конденсатор – это система двух близких расположенных проводников (обкладок), разделенных слоем диэлектрика.

В зависимости от формы обкладок конденсаторы делят на плоские (обкладки – две плоские пластины), цилиндрические (обкладки – два коаксиальные цилиндры) и сферические (обкладки – две концентрические сферы).

У простейшего плоского конденсатора электрическое поле внутри обкладок однородна; E=const.

П ри зарядке одной из обкладке сообщается некоторый +q заряд, а другую обкладку заземляют: на второй обкладке собирается равный q , но противоположный по знаку заряд.

Из , учитывая, что q=σS, φ₁ –φ₂=Ed и (см. пример эл. поля между двумя параллельными плоскостями), получаем формулу плоского конденсатора:

.

Если обкладки имеют разные площади или частично перекрываются, то под S подразумевается меньшая или покрывающаяся часть площади.

Иногда роль диэлектрика играет пропарафинированная бумага.

Для всех типов конденсаторов существует пробивное напряжение Δφ - при котором происходит электрический разряд через слой диэлектрика.

Для сферического конденсатора , где r₁ и r₂ радиусы сфер. Когда r₂ - r₁=Δr << r₁= r₂ =r, тогда

Для цилиндрического конденсатора , где r₁ и r₂ радиусы оснований цилиндров, а ℓ- его высота.

Такой конденсатор с С = 10 мкф имеет размер спичечного коробка. (Металлический шар имел бы R ≈ 90 км).

В конденсаторе с переменной С применяются газообразные или жидкие диэлектрики.

Существуют Многопластинчатые конденсаторы, для которых

или ,

где k - число промежуток, n - число пластинок, а d – расстояние между пластинок.

Вне конденсатора электрическое поле почти отсутствует (Е=0).

Соседние проводники уже не влияют на С конденсатора.

Конденсаторы можно рассматривать как накопители электрической энергии.

Батареи из конденсаторов

При параллельном соединении конденсаторов полная электроемкость равна сумме электроемкостей отдельных конденсаторов.

, ,

П ри последовательном соединении конденсаторов величина обратная величине полной электроемкости, равна сумме величин, обратных электроемкостей отдельных конденсаторов.

Заряды всех обкладок одинаковы и равны q, тогда

Δφ = φ₁- φ_n=(φ₁ – φ₂)+(φ₂ – φ₃)+^…+(φ_n-1 – φ_n)

. Например, при n=2, .

Биологические конденсаторы у некоторых рыб (электрический скат, электрический угорь и др.) имеют довольно большие электроемкости, и у них напряжение может достигнуть Δφ~1000B, а мощность W~1квт . Они состоят из проводящей (нервной) и непроводящей (соединительной) ткани.

Измеряя С конденсатора с исследуемым диэлектриком и без него, можно определить диэлектрическую проницаемость диэлектрика из соотношения ε=С/С₀.