6.2. Основные уравнения динамики твердого тела

Как уже отмечалось, поступательное движение твердого тела, можно рассматривать как движение материальной точки, масса которой равна массе тела, а точка приложения силы совпадает с центром инерции тела. Следовательно, основное уравнение динамики поступательного движения твердого тела будет иметь вид

ma_C = F (6.5)

или

(6.6)

где и a_C – соответственно скорость и ускорение центра масс твердого тела, m – масса твердого тела, F – равнодействующая всех внешних сил, приложенных к телу (к его центру инерции).

Для определения координат центра инерции твердого тела мысленно разобьем его на отдельные элементы массой dm. Тогда указанные координаты могут быть вычислены по общим формулам (5.3), если заменить в них m_i на dm, x_i на x, y_i на y, z_i на z, где x, y, z – координаты элемента массой dm, а суммирование интегрированием:

(6.7)

где m – масса тела, а интегрирование производится по всему объему тела.

Рассмотрим теперь вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси вращения. Будем считать, что эта ось совпадает с координатной осью Z. При неподвижной оси вращения

Рис. 6.5

удобно пользоваться моментом импульса и моментом силы относительно этой оси. Твердое тело можно рассматривать как неизменяемую систему материальных точек, поэтому найдем сначала момент импульса движущейся по окружности одной материальной точки М относительно оси вращения (оси Z). По определению эта величина равна проекции на эту ось вектора момента импульса относительно точки А, расположенной на оси вращения. Если положение материальной точки М относительно точки А определяется радиус-вектором r, то вектор указанного момента импульса будет где p = mv – вектор импульса материальной точки. Вектор L перпендикулярен вектору r и образует с осью Z угол α = (рис. 6.5). Поэтому его проекция на ось Z где L – модуль вектора L. Поскольку векторы r и p взаимно перпендикулярны, то Из рис. 6. видно также, что – радиус окружности, по которой движется точка М (точка О – центр этой окружности). С учетом этого получаем Выражая линейную скорость v через угловую ω по формуле v = ωρ и опуская индекс z у L_z, получим для момента импульса материальной точки относительно оси вращения: где . Величина I, определяемая как произведение массы материальной точки на квадрат ее расстояния до оси вращения, называется моментом инерции материальной точки относительно оси вращения.

Положения всех материальных точек, из которых состоит твердое тело, будем определять радиус-векторами, исходящими из одной точки О, расположенной на оси вращения Z. Тогда момент импульса тела относительно этой оси будет равен сумме соответствующих моментов импульса всех материальных точек:

где

– момент инерции тела относительно оси вращения. Как видим, он равен сумме произведений масс материальных точек, образу

ющих тело, на квадраты расстояний их до оси вращения.

При неподвижной оси вращения удобно пользоваться моментом импульса и моментом силы относительно этой оси Z.

Обратимся теперь к действующим на тело силам. Силы, направленные параллельно оси вращения, могут только сдвигать тело вдоль этой оси, не вызывая его вращения. При рассмотрении

вращательного движения такие силы можно не учитывать. Вращение тела вызывают только силы, перпендикулярные оси вращения. Момент этих сил относительно точки О будет параллелен оси вращения, и, следовательно, проекция его на ось

вращения Z будет равна просто модулю этого момента: где – угол между векторами r и (рис. 6.2; на этом рисунке ось перпендикулярна плоскости чертежа и проходит через точку О, А – точка приложения силы). Как видно из рис. 6.2, где – плечо силы относительно оси (рассто-

Рис. 6.2

_яние от оси до линии действия силы). Следовательно, опуская индекс z, для проекции момента поперечной силы на ось Z можно записать

Подставляя полученное выражение для L в уравнение моментов системы материальных точек относительно оси, получим

(6.8)

Здесь M – в общем случае суммарный момент всех внешних поперечных сил, действующих на систему относительно оси вращения. Уравнение (6.8) справедливо для любой системы материальных точек (а не только для твердого тела) и называется основным уравнением динамики вращательного движения системы материальных точек.

Момент импульса системы относительно оси вращения, выраженный через момент инерции и угловую скорость, т.е. величина называется вращательным импульсом. Момент силы М относительно оси называют вращающим моментом. Вращательный момент – величина алгебраическая. Его знак определяется выбором положительного направления вращения (по часовой стрелке или против нее). При этом он берется со знаком плюс, если он вращает тело в положительном направлении и со знаком минус – если в противоположном. Если момент внешних сил относительно оси вращения равен нулю, то из уравнения (4.) следует, что Iω = const, т.е. вращательный импульс системы сохраняется. Это утверждение носит название закона сохранения вращательного импульса системы. При вращении системы расстояние от точек до оси вращения может изменяться, а значит, может изменяться и момент инерции системы. Тогда в соответствии с законом сохранения вращательного импульса это приводит к изменению угловой скорости, т.е. к замедлению или ускорению вращения.

При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси его момент инерции I остается постоянным, и тогда уравнение (4.) переходит в уравнение

(6.9)

или

(6.10)

где – угловое ускорение тела. Уравнения (4.) и (4.) называются основным уравнением динамики вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси. Оно аналогично основному уравнению динамики материальной точки. В частности, момент инерции тела I аналогичен массе материальной точки. Следовательно, момент инерции определяет инерционные свойства тела (системы материальных точек или одной материальной точки) во вращательном движении.

При плоском движении под действием внешних сил тело одновременно совершает поступательное движение вместе с центром инерции С и вращательное движение вокруг оси, проходящей через центр инерции и имеющей неизменное направление в пространстве. Поступательное движение описывается уравнением (4.) или (4.), а вращательное – уравнением (4.) или(4.). При этом величины I, ω, ε и M берутся относительно оси, проходящей через центр инерции. Если линия действия результирующей внешних сил проходит через центр масс, то М = 0, а значит, и ε = 0. В этом случае тело будет совершать только поступательное движение.