6.5. Кинетическая энергия вращательного движения твердого тела

Предположим, что под действием внешнего момента сил M тело за время dt повернулось вокруг определенной оси (Z) на угол d𝜑 = ωdt. Умножим обе части уравнения движения в форме (6.9) на указанное угловое перемещение. Получим

Iωdω = Md𝜑,

или

(6.11)

Таким образом, при действии на тело момента внешних сил М на угловом перемещении d𝜑 произошло элементарное приращение скалярной величины

(6.12)

Эту величину называют кинетической энергией вращательного движения твердого тела. Ее можно представить также в виде

Величину называют элементарной работой вращения. Как видим, работа внешних сил при вращении тела вокруг неподвижной оси определяется действием момента этих сил относительно данной оси и угловым перемещением, совершенным под действием этого момента. Если силы таковы, что M = 0, то работы они не совершают. Работа на конечном угловом перемещении от 𝜑₁ до 𝜑₂ определится как

Интегрируя выражение (6.11) по конечному угловому перемещению, придем к соотношению, выражающему собой теорему об изменении кинетической энергии вращательного движения:

(6.13)

где ω₁ – угловая скорость тела в момент времени, когда его угловое перемещение было 𝜑₁; ω – угловая скорость тела при угловом перемещении 𝜑₂. Таким образом, изменение кинетической энергии вращательного движения тела на некотором угловом перемещении равно работе вращения на этом перемещении.

Если действующая сила является потенциальной, то δA = –dU, где dU – элементарное приращение потенциальной энергии на угловом перемещении d𝜑. Следовательно, dU = –Md𝜑. Откуда

Это соотношение позволяет определить момент силы относительно заданной оси, если потенциальная энергия известна как функция угла поворота.

Разделив элементарную работу δA на время dt, за которое тело повернулось на угол d𝜑, получим мощность, развиваемую моментом силы M при вращении тела:

В случае плоского движения, которое, как уже отмечалось, можно представить состоящим из двух движений – поступательного вместе с центром масс и вращательного вокруг оси, проходящей через центр масс, и имеющей неизменное направление в пространстве – кинетическая энергия тела будет складываться из кинетической энергии при поступательном движении и при вращательном движении:

(6.14)

где I и ω берутся относительно оси, проходящей через центр масс тела.

6.6. Гироскопы. Прецессия гироскопов

Рассмотрим влияние внешних сил на движение вращающегося твердых тел, обладающих симметрией вращения. Такие тела, быстро вращающиеся вокруг своей оси симметрии, называются гироскопами. При вращении вокруг этой оси момент импульса гироскопа совпадает по направлению с осью вращения. Поэтому такое вращение устойчиво, и ось вращения гироскопа сохраняет неизменным свое направление в пространстве при любом перемещении и ориентации гироскопа.

Для изменения направления оси гироскопа относительно неподвижной (лабораторной) системы отсчета необходимо, чтобы на него действовал момент внешних сил. В таком случае наблюдается следующее явление, получившее название гироскопического эффекта: под действием сил, которые, казалось бы, должны были вызвать поворот оси вращения в той плоскости, в которой лежат эти силы, в действительности ось гироскопа поворачивается вокруг оси, перпендикулярной к указанной плоскости.

Для объяснения такого поведения гироскопа рассмотрим гироскоп в виде массивного диска, вращающегося вокруг горизонтальной оси ОО, причем его момент импульса L направлен вдоль оси вращения (рис.6). На ось гироскопа действует пара сил F, лежащих в плоскости, перпендикулярной плоскости чертежа. Момент этих сил M направлен вдоль вертикальной оси О′О′. Изменение момента импульса гироскопа под действием этого момента сил будет равно dL = Mdt. За время Δt момент импульса гироскопа получит приращение ΔL = MΔt, которое имеет такое же направление, как и M. Следовательно, момент импульса гироскопа спустя время Δt будет равен L′ = L + ΔL.

Это новое направление момента импульса L′ и вместе с тем и новое направление оси вращения гироскопа лежат в плоскости

Рис. 6.

чертежа. Ось вращения повернулась в плоскости чертежа вокруг прямой О′′О′′. Таким образом, гироскопический эффект непосредственно следует из уравнения моментов. Наиболее важно здесь то обстоятельство, что изменение ΔL момента импульса L совпадает по направлению с моментом силы M, а не с направлением самой силы F.

Интересный вид движения гироскопа возникает в том случае, когда его ось закреплена в точке, не совпадающей с центром инерции (и соответственно – с центром тяжести). При этом гироскоп все время находится под действием силы тяжести, момент

Рис. 6.

которой направлен перпендикулярно оси гироскопа. В результате ось гироскопа будет вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через неподвижную точку, описывая конус. Такое движение называется прецессией гироскопа.

Рассмотри прецессию гироскопа на примере симметричного волчка, опирающегося одним концом на плоскость в точке С (рис. 6.). Предположим, что момент импульса волчка L направлен вдоль его оси. Сила тяжести mg приложена к его центру инерции О и создает момент силы величиной M = mglsin𝛼, где l – расстояние от центра тяжести до точки опоры. 𝛼 – угол, образованный осью волчка с вертикалью. Направление этого момента M перпендикулярно к вертикальной плоскости, проходящей через ось волчка. Поскольку вектор M перпендикулярен вектору L, то и приращение момента импульса за время Δt, ΔL = MΔt, перпендикулярно L. Отсюда следует, что при повороте оси волчка вокруг вертикали угол ее с вертикалью не изменяется. Пусть d – угол поворота вертикальной плоскости, в которой лежит ось гироскопа, за время dt. Его величина

Подставляя сюда выражение для M, находим

А так как L = Iω, где ω – угловая скорость вращения волчка вокруг своей оси, то для величины угловой скорости прецессии ω_пр = d /dt получим

Полученный результат справедлив при больших угловых скоростях вращения гироскопа, когда Iω >> mgl, т.е. при ω_пр << ω.