- •Глава 6
- •6.1. Кинематика твердого тела
- •6.2. Основные уравнения динамики твердого тела
- •6.3. Момент инерции простейших симметричных тел
- •6.4. Теорема Штейнера
- •6.5. Кинетическая энергия вращательного движения твердого тела
- •6.6. Гироскопы. Прецессия гироскопов
- •6.7. Трение качения
- •6.8. Условия механического равновесия твердого тела
6.8. Условия механического равновесия твердого тела
Условия равновесия твердого тела, как и материальной точки, представляет собой частный случай динамических уравнений, когда ускорения тела равны нулю. Твердое тело может совершать три независимых поступательных движения вдоль трех координатных осей X, Y, Z вместе с центром масс и три независимых вращательных движения относительно этих координатных осей. Отсюда следует, что для того чтобы твердое тело оставалось неподвижным (находилось в равновесии) все указанные движения должны быть исключены. Чтобы исключить поступательные движения вдоль осей, необходимо, чтобы сумма проекций этих сил на соответствующие координатные оси должна быть равна нулю:
(6.15)
Аналогично, чтобы исключить вращение тела вокруг координатных осей должна быть равна нулю сумма проекций моментов внешних сил относительно этих осей:
6.16) Напомним, что знак момента силы относительно оси определяется выбором положительного направления вращения (по или против часовой стрелки). Если данная сила вызывает вращение в положительном направлении, то ее момент берется со знаком плюс, если в противоположном, – со знаком минус.
Равенства (6.15) и (6.16) и определяют условия равновесия твердого тела.
В качестве примера применения условий равновесия рассмотрим сложение двух параллельных сил F1 и F2, приложенных к телу в точках А и В (рис. 6). Параллельными силами называются такие силы, линии действия которых параллельны друг другу. Если линии действия сил пересекаются в одной точке, силы называются сходящимися.
Направим ось X системы координат XYZ вдоль линии АВ, а ось Y – вдоль направления вектора F1. Тогда проекция каждой силы на ось X будет равна нулю, вследствие чего первое уравнение (6.15) обращается в тождество, а поскольку все силы лежат в плоскости XY (плоская система сил), то и третье уравнение (6.15) обращается в тождество. В данной системе сил вращение может происходить только вокруг оси Z, поэтому и первое и второе уравнения (6.16) превращаются в тождество. В результате для указанной системы сил остаются два условия равновесия:
Чтобы данная система сил находилась в равновесии, к телу следует приложить еще уравновешивающую силу, направив ее вертикально вверх. Обозначим ее через Fy. Тогда из первого условия равновесия с учетом направления уравновешивающей силы получим Откуда Fy = F1 + F2. Равнодействующая R сил F1 и F2 направлена противоположно уравновешивающей силы, т.е. по направлению сил F1 и F2, так что
Чтобы найти точку приложения C равнодействующей силы воспользуемся условием равновесия для моментов. Сумма моментов двух сил относительно оси, проходящей через точку C и параллельной оси Z должна быть равна нулю. С учетом знаков для M1 M2, находим где – расстояние между точками А и В, x – расстояние между точками А и С. Откуда
Это есть расстояние точки приложения равнодействующей от линии действия силы F1 (x-координата точки приложения).
Если силы направлены в разные стороны, то они имеют противоположные знаки и равнодействующая равна разности этих сил: А x-координата ее точки приложения
Из этой формулы видно, что если F1 > F2, то x < 0. Это значит, что точка приложения силы R лежит левее точки приложения силы F1.
Пусть теперь две силы F1 и F2 равны по величине и противоположны по направлению. В этом случае R = 0, а x . Это означает, что две равные антипараллельные силы, линии действия которых не совпадают нельзя заменить одной силой. Такая система двух равных по модулю и противоположно направленных сил, не лежащих на одной прямой, называется парой сил. Действие пары сил нельзя свести к действию одной силы, ее нельзя уравновесить одной силой. Однако эти силы не уничтожают друг друга. Особенность такой пары сил состоит в том, что она не при
Рис. 9 |
Рассмотрим, например, диск, который может свободно вращаться вокруг оси О, перпендикулярной диску. Если к точке А на ободе диска приложить силу F, направив ее по касательной к боковой поверхности диска (направленная таким образом сила, называется окружным усилием, рис. 6.), то диск станет вращаться. Вращение диска обусловлено появлением пары сил. Сила F, действуя на диск, прижимает его в точке О к оси (сила Fдавл на рис. 6. приложена к оси О) и возникает реакция оси Fркц, приложенная так же, как и сила F, к диску. Так как все эти силы равны по модулю и линии их действия параллельны, то силы F и Fркц образуют пару сил, которая и приводит диск во вращение.