6.3. Момент инерции простейших симметричных тел

Из определения момента инерции системы материальных точек следует, что при вычислении момента инерции сплошного тела массу m_i материальной точки следует заменить массой элемента тела dm, а суммирование – интегрированием, так что

а учитывая, что dm = 𝜌dV, где dV – элемент объема тела, 𝜌 – плотность материала тела,

(6.11)

В случае симметричных тел момент инерции с помощью этой формулы вычисляется легко. Вычислим в качестве примера момент инерции двух симметричных тел.

1. Момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его центр.

Представим себе стержень длины l площадью поперечного сечения S и массы m. Направим вдоль стержня координатную ось X, поместив ее начало в центр стержня. Тогда координаты концов стержня будут –l/2l и l/2l. Мысленно разделим стержень по длине на элементарные участки толщиной dx. Масса таких участков dm = 𝜌dV = 𝜌Sdx. С использованием формулы (6.11), искомый момент инерции стержня найдется как

При получении конечного выражения, было учтено, что 𝜌Sl = m – масса стержня.

2. Момент инерции однородного диска относительно оси, проходящей через его центр.

Воспользуемся формулой (6.11) в цилиндрической системе координат, в которой элемент объема dV = rdrd𝜑h, гдеh – толщина диска, 𝜑 – полярный угол. С учетом этого будем иметь

Поскольку масса диска m = 𝜌𝜋R²h, получим

Приведем без вычисления осевые моменты инерции других однородных тел простейшей геометрической формы, которые рассчитаны относительно оси, проходящей через центр масс.

3. Момент инерции сплошного цилиндра радиусом R относительно его оси:

4. Момент инерции толстостенного цилиндра относительно его оси:

где R₁ и R₂ – его внутренний и внешний радиусы соответственно.

5. Момент инерции тонкостенного цилиндра (R₁ = R₂ = R) относительно оси:

6. Момент инерции однородного шара радиусом R относительно оси, проходящей через его центр:

Моменты инерции тел сложной формы определяются экспериментально.

6.4. Теорема Штейнера

Предположим теперь, что нам известен момент инерции тела относительно оси ОО, проходящей через центр инерции тела С, и требуется найти момент инерции тела относительно оси О₁О₁, параллельной ОО и находящейся на расстоянии а от нее (рис. 6.). Мысленно разобьем тело на отдельные элементы массой dm и обозначим через r₀ расстояние от этого элемента до оси ОО, а через r – его расстояние до оси ОО. Тогда по теореме косинусов, имеем

Умножим обе части этого равенства на и проинтегрируем по всему объему тела, получим

Здесь первый интеграл в правой части второго равенства определяет момент инерции I₀ тела относительно оси ОО, проходящей через центр инерции, второй интеграл равен

Рис. 6

Для вычисления третьего интеграла расположим в плоскости, проходящей через оси ОО и О₁О₁, координатную ось X, поместив ее начало в центр инерции С. Тогда, как видно из рис. 6, – x-координата центра элемента dm. Следовательно, Эта величина согласно (4.**) равна , где x_C – x-координата центра инерции С. А поскольку то равен нулю и третий интеграл. В итоге получим

Таким образом, момент инерции тела относительно любой оси равен сумме момента инерции относительно оси, проходящей через центр инерции и величины, равной произведению массы тела на квадрат расстояния между осями. Это утверждение и составляет содержание теоремы Штейнера. В качестве примера применения теоремы Штейнера найдем момент инерции стержня относительно оси, проходящей через один из его концов. В данном случае a = l/2l, так что