- •III. Многомерные случайные величины
- •3.1. Совместная (n–мерная) функция распределения
- •3.2. Дискретные двумерные случайные величины
- •3.3. Непрерывные n–мерные случайные величины
- •3.4. Условные распределения
- •3.5. Преобразование векторных случайных величин
- •3.6. Математическое ожидание векторных случайных величин
- •3.7. Моменты векторных случайных величин
- •3.8. Дисперсия векторных случайных величин
- •3.9. Условное математическое ожидание. Кривые регрессии
- •3.10. Условная дисперсия
- •3.11. Ковариация случайных величин
- •3.12. Коэффициент корреляции
- •3.13. Характеристические функции векторных случайных величин
- •Контрольные вопросы
3.2. Дискретные двумерные случайные величины
Двумерная случайная величина будет дискретной, если каждая из случайных величин дискретна. Как и в одномерном случае, двумерную дискретную сл. величину задают ее рядом распределения:
, (3.1)
где – все возможные значения сл. величин соответственно. На числа , таким образом, накладываются ограничения:
. (3.2)
Если число возможных значений вектора конечно, то сл. двумерную величину можно описать с помощью таблицы с двумя входами, по смыслу схожей с таблицей распределения скалярной случайной величины.
Таблица 2
|
|
||||
|
|
… |
|
||
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
… |
|
|
… |
… |
… |
… |
… |
|
|
|
|
… |
|
В верхней строке таблицы перечислены все возможные значения случайной величины : , в левом столбце – все возможные значения случайной величины : . В клетках на пересечении строк с номерами i и столбцов с номерами j записывают вероятности событий .
Таблицу 2 можно расширить, включив в нее еще одну строку и один столбец:
Таблица 3
|
|
|
||||
|
|
… |
|
|||
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
… |
|
|
|
… |
… |
… |
… |
… |
… |
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
… |
|
|
В последней строке новой таблицы записаны числа
(3.3)
Следовательно, первая и последняя строки таблицы образуют ряд распределения случайной величины . Аналогично, в последнем столбце новой таблицы записаны числа
, (3.4) потому первый и последний столбцы таблицы образуют ряд распределения случайной величины .
Приведем обоснование формулы (3.4): действительно, если обозначить за событие , i=1,2,…, n, за – событие , j=1,2,..,m, то
|события попарно несовместны при всех i,j| =
Иногда вместо обозначений , i=1,2,…,n, применяются обозначения с тем, чтобы показать, что эти числа не зависят от значений второй сл. величины. Аналогично, вместо обозначений применяют обозначения
Формулы
(3.5)
называются формулами согласованности для дискретных сл. величин. Для чисел , таким образом, естественны ограничения
(3.6)
Для двумерных дискретных сл. величин функция распределения может быть записана по аналогии с одномерным случаем в виде
(3.7)
Суммирование распространяется на те значения i, j, для которых выполняются неравенства . Функция может быть восстановлена по ряду распределения (3.1).
Пример 1. Двумерная дискретная сл. величина задана таблицей распределения
\ |
1 |
2 |
3 |
0.2 |
|
|
|
0.3 |
|
|
|
Найти законы распределения сл. величин и и записать их в этой же таблице. Найти .
Решение. Вычислим по формуле (3.4) числа , : ; .
Теперь вычислим по формуле (3.3) числа , j=1,2,3. .
Проверкой полученных результатов являются выполнение равенств (3.5): .
Исходная таблица преобразуется к виду:
\ |
1 |
2 |
3 |
|
0.2 |
|
|
|
|
0.3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
; .