3.5. Преобразование векторных случайных величин
Рассмотрим задачу
нахождения закона распределения
некоторой функции заданной сл. величины
ξ для случая, когда ξ – n–мерная
случайная величина. Итак, пусть ξ
–n–мерная
случайная величина с известной плотностью
распределения
и имеется функция
,
–
m–
мерная случайная величина . Ставится
задача нахождения
.
Остановимся на некоторых частных случаях этой задачи.
Случай 1. Пусть
m=n>1,
–
дифференцируемая векторная функция.
Предполагаем, что система уравнений
имеет единственное решение
,
.
Для
любого борелевского множества Sx,
являющегося некоторым множеством
значений случайной величины
,
,
соответствующее борелевское множество
удовлетворяет условию
.
Кроме того,
Вычислим вероятность первого события,
для чего воспользуемся свойством 3
плотностей распределения:
Сделаем в интеграле замену переменных
x = g(y), по известной из математического
анализа формуле замены переменных в
кратном интеграле получим
Но в силу соотношения
и справедливости формулы
заключаем,
что
(3.26)
Замечание.
Аналогично
замечанию в п. 2.4, обозначение
удобнее заменить на обозначение: x =
x(y), тогда последняя формула примет вид:
(3.27)
Пример 3. Найти
,
если
,
и
–независимые сл. величины,
имеет равномерное на отрезке [0,1]
распределение, а сл. величина
распределена по экспоненциальному
закону с параметром λ.
Решение.
Итак,
,
Рассмотрим систему уравнений:
;
;
Используем
формулу (3.27):
.
Случай 2.
Пусть теперь
,
функция
–дифференцируемая
векторная функция. Этот случай сводится
к предыдущему, если к системе имеющихся
уравнений
добавить n–m+1
новых переменных,
:
Функции
следует выбирать так, чтобы они были
дифференцируемыми, полученная система
n уравнений с n неизвестными имела
единственное решение и это решение
могло быть получено возможно проще.
Чаще всего за новые переменные
берут какие-нибудь из прежних переменных,
например,
.
Тогда по формуле (3.27) получаем для
случайной величины
функцию
.
По свойству 4 совместных плотностей
вероятностей:
(3.28)
Пример 4. Пусть
–
вектор положительных сл. величин,
совместная плотность распределения
которых
известна, η=ξ
.
Найти
.
Решение. Здесь m=1, n=2, обратимся к случаю 2. Составим систему уравнений следующим образом:
,
,
Полученный интеграл
называется интегралом
типа свертки
(сверткой функций распределения двух
независимых случайных величин
и
называется интеграл вида F
– суперпозиция интегралов от функций
распределения случайных величин
и
).
Пример 5.
Пусть имеют место условия предыдущего
примера, но
,
найти
.
Решение. Рассмотрим систему уравнений:
По формуле (3.27)
найдем
,
где
:
Пример 6.
Пусть имеют место условия примера 4, но
Решение. Решаем систему уравнений:
;
Решение этой задачи
можно получить иным способом. Введем
новую случайную величину φ такую, что
.
Решаем систему уравнений:
.
Замечание 1. Рассмотренные приемы нахождения законов распределения известных функций от известных случайных величин не являются единственно возможными. Данная задача может быть решена в такой последовательности: сначала находим функцию распределения новой сл. величины, а уж потом плотность распределения. Приведем решение примера 5 подобным образом. Итак,
известна.
где
Видим, что результат получился тот же самый с точностью до обозначений.
Замечание 2. С использованием рассмотренного в п. 3.5 способа нахождения закона распределения функций сл. величин могут быть получены следующие результаты:
1. Пусть
– независимые сл. величины, каждая из
которых распределена нормально с
параметрами 0 и 1. Тогда сл. величина
распределена по закону
(хи
– квадрат) с n степенями свободы.
Непрерывная сл. величина Х имеет распределение , если ее плотность распределения задается в виде:
2.
Пусть ξ и η – независимые сл. величины,
ξ распределена по нормальному закону
с параметрами 0 и 1, η имеет распределение
.
Тогда сл. величина
распределена по закону Стьюдента или
имеет t – распределение.
Случайная величина Х имеет t – распределение с n степенями свободы, если ее плотность распределения задается в виде
.
Случайная величина
при n→∞ имеет стандартное нормальное
распределение.
3.
Пусть ξ и η – независимые сл. величины,
имеющие
распределение с m и n степенями свободы
соответственно. Тогда сл. величина
имеет F – распределение или распределение
Фишера , или распределение Снедекора
с m и n степенями свободы.
Плотность F – распределения задается в виде:
Замечание 2. Если сумма двух независимых одинаково распределенных сл. величин подчиняется тому же закону распределения, что и слагаемые сл. величины (с иными параметрами, естественно), то этот закон распределения называется композиционно устойчивым или восприизводимым. Композиционно устойчивыми являются такие важные законы распределения как нормальный, закон Пуассона, биномиальный (с одними и теми же параметрами) и .