3.13. Характеристические функции векторных случайных величин

Определение характеристической функции для скалярной сл. величины было приведено в разделе 2.8. Для векторных сл. величин определение остается справедливым с очевидными изменениями:

(3.41)

Здесь и ξ – n-мерная сл. величина.

Свойства характеристических функций многомерных распределений аналогичны свойствам характеристических функций скалярных сл. величин, но есть и отличия, отметим только одно из них: смешанные моменты порядка к можно определять также дифференцированием характеристических функций. При этом справедливо соотношение:

(3.42)

Отметим в заключение, что характеристическая функция многомерного нормального распределения может быть записана в виде , где вектор m и матрица A – параметры многомерного нормального распределения. Очень часто характеристическая функция многомерного нормального распределения используется вместо плотности распределения для описания случайного вектора.

Контрольные вопросы

1. Сформулируйте определение сл. вектора.

2. Что такое функция распределения сл. вектора.

3. Какой сл. вектор называется дискретным.

4. Напишите условия согласованности для двух дискретных сл. величин. Какой цели они служат?

5. Дайте определение непрерывного сл. вектора.

6. Запишите условия согласованности для непрерывного сл. вектора через функции распределения и через плотности распределения.

7. Сформулируйте необходимое и достаточное условия независимости непрерывных сл. векторов.

8. Что такое числовая характеристика сл. величины?

9. Дайте определение математическому ожиданию, дисперсии, начального и центрального моментов сл. величины. Назовите другие характеристики сл. величины.

10. Перечислите свойства математического ожидания, дисперсии.

11. Что такое ковариация (корреляционный момент), коэффициент корреляции? Назовите их основные свойства.

12. Сформулируйте основное правило нахождения закона распределения функции сл. величины.

13. Каким образом сл. величина связана с нормальным распределением?

14. Какая с. величина имеет распределение Стьюдента?

15. Как вводится F- распределение?

16. Что означает композиционная устойчивость данного закона? Примеры.

17. Что такое условное распределение?

18. Как вводится условное распределение в случае дискретных сл. величин? В случае непрерывных сл. величин?

19. Дайте определение условного математического ожидания сл. величин.

20. Каков вероятностный смысл регрессии ξ на η?

21. Что представляет собой линия регрессии для нормального закона распределения? Какова геометрическая роль коэффициента корреляции?

22. В чем разница между функциональной и вероятностной зависимостью между сл. величинами?

ЗАДАЧИ

137. Совместное распределение случайного вектора задается таблицей:

X\Y	-1	0	1
-1
1

Найти а) одномерные законы распределения сл. величин X и Y; б) закон распределения сл. величины X+Y; в) закон распределения сл. величины X–Y: г) закон распределения сл. величины ; д) совместный закон распределения сл. величин X+Y и X–Y.

138. Вычислить коэффициент корреляции в условиях задачи 137.

139. Точка произвольным образом бросается в круг единичного радиуса. Найти коэффициент корреляции между ее декартовыми координатами.

140. Найти коэффициент корреляции , если X и Y независимы, одинаково распределены и имеют конечный второй момент.

141. Найти коэффициент корреляции , если X имеет а) стандартное нормальное распределение; б) показательное распределение с параметром λ.

142. Плотность совместного распределения величин  и  определяется равенствами f(u,v)=1, если (u,v)  G = {(u,v): 0≤u≤2, 0≤v<1– u/2}, и f(u,v)= 0,если (u,v) G. Найти .

143. Плотность совместного распределения сл. величин ₁ и ₂ f_12(u,v)=с(u+v), если и f_12(u,v)=0, если Найти а) постоянную с; б) f_i(x_i), i=1,2; в) плотность распределения =max(₁,₂).

144. Плотность если u²+v²1, и если u²+v²<1. Найти f_(y), если .

145. Неотрицательные сл. величины ₁ и ₂ независимы и имеют одну и ту же плотность распределения f(x), x≥0. Найти f_12(u,v), если ₁= ₁–₂ и .

146. Случайные величины ₁ и ₂ независимы и имеют одно и то же показательное распределение. Найти .

147. Случайные величины  и  независимы и имеют равномерное распределение на [0,a]. Найти плотность распределения сл. величин а) +; б)–; в) ; г) /.

148. Случайные величины  и  независимы и имеют показательное распределение с параметром =1. Найти плотность распределения сл. величин а) +; б) –; в) |–|; г) /.

149. Найти f_+(х), если сл. величины  и  независимы и а)  имеет равномерное распределение на [0,1],  – равномерно распределена на [0,2]; б)  имеет равномерное распределение на [0,1],  – показательное распределение с параметром =1; в) обе сл. величины распределены по показательному закону с одним и тем же параметром; г) обе сл. величины распределены по закону Пуассона с параметрами ₁ и ₂.

150. Найти плотность распределения сл. величины , если _i, i=1,2, независимы и равномерно распределены на [0,1].

151. В квадрат с вершинами в точках (0.0), (1.0), (0.1) и (1.1) наудачу брошена точка. Доказать, что для Найти для Найти

152. Точка бросается в треугольник с вершинами (0,0), (0,1), (2,0). Найти функцию распределения и плотность распределения а) декартовых координат точки; б) полярных координат точки.

153. Случайные величины X и Y независимы, причем а Найти функции распределения сл. величин X+Y и XY.

154. Случайная величина  равномерно распределена на [0,2], ₁=cos, ₂=sin. Найти M₁, M₂, cov(_1,₂). Являются ли ₁,₂ независимыми?

155. Случайные величины  и  независимы и одинаково распределены. Найти в следующих случаях:

а)  и  имеют показательное распределение с параметром ;

б)  и  равномерно распределены на [0,1];

в)  и  имеют распределение, задаваемое плотностью распределения f(x)=²xe^-x, x0.

156. Совместная плотность распределения сл. величин ξ и η имеет вид: f_(u,v)=1, если и 0 в противном случае. Найти

157. Случайные величины _1,₂,₃ независимы и распределены нормально с одинаковыми параметрами а=0, =1; = . Найти распределение .

158. Cлучайные величины ₁ и ₂ независимы и имеют нормальное распределение с параметрами a, σ. Найти f_(x), если =₁²+₂².

159. Случайная величина ξ имеет стандартное нормальное распределение. Пусть = . Будет ли сл. величина ξ+η иметь нормальное распределение?

160. Случайные величины  и  независимы и имеют стандартное нормальное распределение. Найти .

161. Закон распределения двумерной дискретной случайной величины задан в таблице:

\	-2	-1	1	2
-1	0,02	0,03	0,09	0,01
0	0,04	0,20	0,16	0,10
1	0,05	0,10	0,15	0,05

Найти: а) законы распределения одномерных случайных величин и ; б) условные законы распределения случайной величины при условии =2 и случайной величины при условии =1; в) вероятность P( > ).

162. Двумерная случайная величина (₁, ₂) распределена равномерно внутри квадрата R с центром в начале координат. Стороны квадрата равны и составляют углы 45^◦ с осями координат. Определить а) выражение совместной плотности двумерной случайной величины (₁, ₂); б) плотности вероятности одномерных составляющих ₁ и ₂ .

163. Случайные величины имеют стандартное нормальное распределение. Найти совместное распределение сл. величин при a,b0.

164. Случайный вектор (₁,₂) имеет нормальное распределение с M₁=M₂=0 и матрицей ковариаций . Найти распределение вектора (с₁₁,с₂₂) при с₁,с₂0.

165. Cлучайный вектор =(₁,₂) имеет нормальное распределение с М= , и матрицей ковариаций . Найти

166. Cлучайный вектор =(₁,₂) имеет нормальное распределение с М= , и матрицей ковариаций , | |<σ². Найти P{0₁x₂}, x>0.

167. Случайные величиы  и  независимы и нормально распределены с параметрами 0, и 0, соответственно. Вычислить при σ₁=1, σ₂=2 вероятность попадания сл. величины (,) в область: а)|x|1,|y|2; б)0x2, |y|2; в) 0x2, 0y4; г) x+y0, |x|1,y–2; д) .

168. Случайные величины  и  независимы и нормально распределены с М=М=0, D=D=4. Найти вероятность, что сл. точка (,) попадает в область: а) ; б)2min(|x|,|y|), max(|x|,|y|)3; в) 2|x|+|y|3.

169. Совместная плотность сл. величины имеет вид: , и 0 в противном случае. Найти М_k, D_k, k=1,2, cov(₁,₂).

170. Совместная плотность сл. величины имеет вид:

f_1,2(u,v)= . Найти М .

171. Cлучайная величина  имеет равномерное распределение на отрезке [0,1]. Найти ρ(₁,₂), если а) ₁=а, ₂=b, (a,b0); б) ₁=а, ₂=b, (a<0<b); в) ₁=, ₂=², г) ₁=-1/2, ₂=(-1/2)²; д)

172. Пусть (,) – координаты сл. точки, имеющей равномерное распределение в области DR². Найти (,), если а) D – часть единичного круга x²+y²1, x0, y0; б) D – треугольник x+y1, x0, y0.

173. Случайные величины  и  не коррелированы. Доказать, что M=MM.

174. Какие из матриц могут быть ковариационными для вектора =(_1,₂,₃): а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; ж) ?

175. При каких значениях х существует сл. вектор =(_1,₂,₃) с ковариационной матрицей

а) ; б) ?

176. Cлучайные величины  и  обладают конечными дисперсиями . Указать пределы, в которых может изменяться D(+).

177. Случайные величины x и h независимы и P{x=k}=P{h=k}=pq^k-1, q=1– p, k=1,2,… Найти а)P{x=h}; б)P{x>h}; в)P{x<h}; г)P{x=k|x>h}; д)P{x=k|x<h}; е)P{x=k|x=h}; ж) P{x=k|x+h=m}, з) M(|+=m), m≥2.

178. Cлучайные величины  и  независимы и одинаково распределены. Найти

179. Найти в условиях задачи 156 дисперсию D(|+=z).

180. Cлучайные величины _i, i=1,2, независимы и имеют стандартное нормальное распределение. Являются ли независимыми сл. величины ₁= ₁+₂, ₂=₁–₂?

176