3.12. Коэффициент корреляции
Существенным недостатком ковариации сл. величин является то, что её размерность совпадает с произведением размерностей сл. величин. Это так называемый абсолютный показатель тесноты связи сл. величин. Конечно же безразмерная (относительная) характеристика независимости сл. величин была бы лучше. Такой характеристикой служит коэффициент корреляции сл. величин
Определение. Коэффициентом корреляции сл. величин и называют число = ( ,), определяемое соотношением:
(3.40)
Выпишем его свойства:
1. ( ,) =1
Справедливость утверждения следует из свойства 1 ковариаций.
2.
Справедливость утверждения следует из свойства 4 ковариаций (см. также пример 7 этого раздела).
3.Если и независимы, то ( ,) = 0, иначе, из независимости сл. величин следует их некоррелируемость.
Справедливость утверждения следует из свойства 2 ковариаций. Обратное утверждение справедливо только для нормально распределенных сл. величин, в общем случае оно места не имеет.
4. Пусть
.
Тогда
.
Знак “+” надо брать, когда
имеют
одинаковые знаки, и знак “–” – в
противоположном случае.
Смысл полученного результата: коэффициент корреляции с точностью до знака инвариантен относительно линейных преобразований сл. величин.
5. (,) = 1 тогда и только тогда, когда сл. величины и линейно зависимы.
Действительно,
если (,)
=
1, то существуют числа a
и b,
такие, что
=a
+ b.
Для
определенности выберем для коэффициента
корреляции знак “+”. Тогда
.
Поскольку числители первых двух дробей
есть ничто иное как дисперсии
соответствующих сл. величин, то получили
неравенство
Так как =1,
то
или
c
вероятностью 1
.
Последнее утверждение требует пояснений. Выражение, стоящее под знаком математического ожидания, неотрицательно; математическое ожидание – это интеграл Лебега по вероятностной мере от неотрицательной функции и он равен 0. По свойству интеграла Лебега это может быть только тогда, когда подынтегральная функция равна нулю почти всюду относительно этой меры, т.е. множества, на которых она отлична от нуля, имеют вероятностную меру 0.
Из последнего
равенства выразим
через :
=
aξ+b.
Если взять
= –1, то
следует рассмотреть квадрат математического
ожидания суммы величин:
,
остальные действия аналогичны.
Если же
=a
+ b,
то
.
Рассмотренные
свойства коэффициента корреляции
выявляют его смысл: как мера зависимости
сл. величин он “улавливает” только
линейную
зависимость. Значит,
из условия (,)
= 0 следует только один вывод: линейной
зависимости
между сл. величинами ξ и η нет. Нелинейная
зависимость между сл. величинами при
этом может быть и даже очень сильная.
Чем ближе
к 1, чем больше линейная зависимость
между сл. величинами, причем, если
< 0, то сл. величины “растут” в разные
стороны: с увеличением одной из них
вторая наоборот уменьшается, и наоборот.
Если (,) = 0, то сл. величины и называются некоррелированными (выше определение некоррелированных величин уже было приведено с использованием понятия ковариации сл. величин).
Отметим в заключение,
что для характеристики нелинейной
зависимости между сл. величинами ξ и
используют корреляционные отношения
и
:
Приведем некоторые свойства корреляционных отношений:
1. 0≤ ≤1;
2. =1 тогда и только тогда, когда сл. величина ξ функционально зависит от сл. величины μ;
3.
=0
тогда и только тогда, когда
.
Геометрически это означает, что линия
регрессии
горизонтальная прямая.
4.
.
Равенство возможно тогда и только тогда,
когда регрессия
– прямая линия.