- •III. Многомерные случайные величины
- •3.1. Совместная (n–мерная) функция распределения
- •3.2. Дискретные двумерные случайные величины
- •3.3. Непрерывные n–мерные случайные величины
- •3.4. Условные распределения
- •3.5. Преобразование векторных случайных величин
- •3.6. Математическое ожидание векторных случайных величин
- •3.7. Моменты векторных случайных величин
- •3.8. Дисперсия векторных случайных величин
- •3.9. Условное математическое ожидание. Кривые регрессии
- •3.10. Условная дисперсия
- •3.11. Ковариация случайных величин
- •3.12. Коэффициент корреляции
- •3.13. Характеристические функции векторных случайных величин
- •Контрольные вопросы
3.3. Непрерывные n–мерные случайные величины
Если функция абсолютно непрерывна, то случайная величина называется непрерывной. Совместную функцию распределения в этом случае можно записать в виде n-кратного интеграла и функция – плотность распределения n–мерной случайной величины . Как и в случае одномерной сл. величины будем полагать выполнение почти всюду равенства
(3.8)
Свойства совместной плотности распределения
1. .
2. .
3. Если , то .
4. Условие согласованности для совместной плотности распределения имеет вид и – маргинальная совместная плотность распределения случайной величины . В частности, , – маргинальные плотности распределения сл. величин , .
При n=2 свойства совместной функции распределения принимают вид:
1. ;
2. ;
3. ;
4. ; .
В заключение рассмотрим наиболее часто встречающееся на практике многомерное нормальное распределение (гауссово распределение).
Говорят, что сл. вектор , компонентами которого являются непрерывные сл. величины , , распределен по нормальному закону, если совместная плотность распределения вектора определяется формулой:
(3.9)
где , – вектор математического ожидания сл. величины или вектор средних, положительно определенная симметричная матрица A носит название ковариационной матрицы, – определитель этой матрицы. Вектор m и матрица A – параметры многомерного нормального распределения.
Если m=0 и A=I, то – совместная плотность стандартного нормального распределения.
Пусть n=2, . Вектор m и матрица A могут быть параметрами двумерного нормального распределения, так как A > 0, симметрична. Определитель матрицы A равен 1, , квадратичная форма имеет вид . Тогда плотность распределения двумерной сл. величины выглядит следующим образом:
3.4. Условные распределения
Для простоты изложения ограничимся случаем n = 2. Итак, пусть – двумерная случайная величина с известными функциями и . Известно, что сл. величина приняла значение . Что можно сказать о распределении сл. величины при условии ? Из самой постановки вопроса видно, что понятие условного распределения весьма схоже с определением условной вероятности событий, рассмотренной в п. 1.8.
Начнем с наиболее простого случая, пусть – дискретная величина. Назовем условной функцией распределения случайной величины при условии условную вероятность события { } при условии события , то есть
. (3.10)
Условная функция распределения обладает всеми свойствами функции распределения.
Если также дискретная случайная величина, причем , то удобно вместо условной функции распределения рассматривать условные вероятности случайной величины , которая принимает значение xi при условии , определяемые как
(3.11)
Составим таблицу:
Таблица 4
ξ\η |
y1 |
y2 |
… |
ym |
|
x1 |
|
|
… |
|
|
x2 |
|
|
… |
|
|
… |
… |
… |
… |
… |
… |
xn |
|
|
… |
|
|
|
|
|
… |
|
|
Ясно, что эта таблица получается из табл. 3 из п.3.2 заменой в ней элементов рij элементами , вычисляемыми по формуле (3.11): . Так, например, и т.д. Очевидно, таблицу 3 можно получить из таблицы 4 заменой элементов на рij по формуле
(3.12)
Пусть теперь не является дискретной величиной. Формулой (3.10) для определения условной функции распределения пользоваться в этом случае не можем, так как .
Перейдем от события к событию , а событие получим из события при . Определим и назовем условной функцией распределения предел этой условной вероятности при :
(3.13)
Поскольку событие есть объединение непересекающихся событий и , кроме того, событие , то согласно следствию из свойства Р3 вероятностей имеем
Итак,
(3.14)
Так как , то второй сомножитель в формуле (3.14) можно переписать в виде , следовательно,
(3.15)
Если функция имеет производную по x , т.е. существует условная плотность распределения случайной величины при условии
(3.16)
С использованием свойства 4 совместных плотностей распределения и опустив в левой части у функции индекс получим:
(3.17)
Аналогичным рассуждением может быть получена формула:
(3.18)
Из формул (3.16) и (3.18) можно получить соотношения:
, (3.19)
которые напоминают формулы умножения вероятностей для случайных событий.
Пример 2. Пусть (ξ,η) – нормально распределенный случайный вектор с ковариационной матрицей , вектором средних (см. равенство (3.9)). Найдем условное распределение случайной величины при условии η=y.
Решение. Сначала вычислим матрицу : .
Тогда согласно формуле (3.9):
(3.20)
. (3.21)
Видим, что условное распределение сл. величины при условии – формула (3.21) – снова будет нормальным со средним значением и средним квадратическим отклонением .
Отметим еще, что маргинальное распределение – формула (3.20) – также является нормальным со средним значением m2 и средним квадратическим отклонением .
Определение. Случайные величины называются независимыми, если имеет место равенство:
(3.22)
или же, через плотности распределения,
(3.23)
В этом случае условные плотности распределений совпадают с плотностями распределений. Так, при n=2 в случае независимости случайных величин и имеем:
и (3.24)
Отметим, что дискретные сл. величины будут независимыми, если:
(3.25)