6.4 Порядок выполнения задания

1. Привести полный текст варианта.

2. Построить точечную диаграмму (аналог рис. 6.1).

3. На основе анализа диаграммы сформулировать гипотезу о характере зависимости между геологическими параметрами.

4. Вычислить коэффициенты линейной функции МНК (построив предварительно таблицу по аналогии с табл. 6.2).

5. Вычислить (по 6.3), (по 6.7) и .

6. Проверить гипотезу о значимости и написать вывод.

6.5 Варианты. В качестве эмпирической зависимости в этом задании следует взять замеры с нужным номером из предыдущего задания.

6.6. Вопросы для самопроверки знаний

по лабораторной работе №4

1. Дайте определение коэффициента детерминации.

2. Дайте определение корреляционной зависимости между двумя случайными величинами (геологическими параметрами) и Y.

3. Сформулировать нулевую гипотезу о значимости .

4. Сформулировать критерий метода наименьших квадратов.

5. Описать алгоритм проверки гипотезы о значимости .

6. Какое распределение имеет величина F, определяемая по формуле (6.9)?

7. Записать систему нормальных уравнений для нахождения параметров и уравнения линейной регрессии .

8. Сформулировать свойства коэффициента детерминации.

9. Как определяется теснота линейной корреляционной связи между двумя параметрами на основе коэффициента детерминации.

10. Как производится оценка коэффициентов и уравнения линейной регрессии ?

7 Задание 5. Подбор нелинейных функций для

СГЛАЖИВАНИЯ ЭМПИРИЧЕСКИХ ЗАВИСИМОСТЕЙ

7.1 Цель работы

Научиться обосновывать вид нелинейной зависимости и находить оценки параметров нелинейной регрессии методом наименьших квадратов, если между случайными параметрами и существует нелинейная регрессионная зависимость и они ( и ) подчинены нормальному закону распределения.

7.2 Методические указания

Пусть зависимость X и Y задана таблично (6.1) и такова, что график её отличается от прямой линии. В таких случаях для нахождения приближения используют метод линеаризации. Метод основан на следующем. Для некоторых классов зависимостей преобразуем систему координат x, y} в систему координат Х(х,y), Y(х,y)} так, что нелинейная зависимость в новых координатах становится линейной.

Функции X(x,y) и Y(x,y) обычно отыскивают методом проб, на основе обнаружения сходства графика исходной зависимости с известными кривыми, или проверкой выполнения аналитических критериев.

При выполнении настоящего задания выбор нелинейной аппроксимирующей зависимости осуществляется на основе сравнения эмпирической зависимости с кривыми из следующих классов функции:

степенные функции

показательные функции

логарифмические

гиперболы

В таблице 7.1 приведены необходимые для классов I-VI преобразования исходной системы координат для линеаризации функций этих классов, а также простейшие аналитические критерии, по которым можно грубо оценить принадлежность исходной зависимости к этим классам. В этой таблице значения x₁, y₁, x_n, y_n таковы, что точки (x₁, y₁), (x_n, y_n) лежат на концах графика исходной зависимости.

При выборе класса кривых по приведенным аналитическим критериям необходимо поступать следующим образом: для каждого из классов, на основе эмпирических данных (6.1) вычисляем и , а также находим в таблице значение y, соответствующее , обозначим его - .

Для аппроксимации предпочтительнее тот класс кривых, для которого величина - наименьшая. Если не совпадает ни с одним из табличных значений , то можно определить посредством линейной интерполяции (7.1)

где и - промежуточные значения, между которыми содержится ( ).

На практике, при выборе сглаживающей зависимости поступают следующим образом: с помощью аналитических критериев или методом линеаризации выбирается два-три класса кривых. Затем вычисляются коэффициенты a₀ и а₁ аппроксимирующей функции для каждого из выбранных классов. Та из вычисленных функций, которая обеспечивает наибольшее значение R² (формула (7.7)), выбирается в качестве эмпирической формулы для описания исходной табличной зависимости (7.1).

7.3 Пример. Пусть зависимость y от x задана следующей таблицей.

x	1,1	1,4	1,7	2,1	2,6	4,7	6,1	7,0	10,0	12,8	16,5	20,8	40,0
y	25,0	22,7	22,1	19,8	17,0	12,3	10,7	10,0	8,2	6,7	5,6	5,0	3,5