3.6. Цикли Карно. Теорема Карно
3.6.1. Прямий оборотний цикл Карно
Ідеальним циклом теплової машини для якої ηт = max буде прямий (за годинниковою стрілкою) оборотний цикл Саді Карно, який здійснюється робочим тілом між двома джерелами теплоти (ГДТ та ХДТ) наступним чином (рис. 3.4).
q1
T
ГДТ
ГДТ
P
T1=const
T1=const
q1
1
1
S2=const
T1
dq=0
dq=0
qц
2
2
dq=0
dq=0
S1=const
S2=const
lц
4
3
S=const
T2
q2
q2
3
4
S
ХДТ
ХДТ
S2=S3
S1=S4
ΔS
V
Рис. 3.4. Графічне зображення прямого оборотного циклу Карно в координатах p-v та T-S
До стиснутого газу, який знаходиться в стані 1, що описується параметрами: p1, v1, s1, T1, від ГДТ підводиться теплота в кількості q1. В даному випадку температура гарячого джерела буде дещо вища, ніж температура робочого тіла на верхньому рівні, тобто ТГДТ > Т1. При цьому робоче тіло розширюється, виконуючи роботу, наприклад, переміщаючи поршень в циліндрі). Кількість підведеної теплоти – площа під лінією ізотермічного розширення (процес 1-2) – заштрихована на T-s - діаграмі ділянка. Аналітично, кількість підведеної теплоти опишеться рівнянням:
(3.19)
q1 = T1 ·∆s.
Даний процес розширення робочого тіла проводять в ізотермічному режимі (процес 1-2). Зниження температури робочого тіла, що спостерігається при його розширенні, компенсується підведенням ззовні теплоти q1. Тобто, Т1 = const.
Після того, як газ розширився до стану 2, підведення теплоти до робочого тіла припиняється і подальше розширення газу буде проходити при dq = 0, при якому s2 = s3 = const - адіабатичний процес розширення 2-3.
Так як розширення газу продовжується, то продовжується виконуватись робота розширення, але вже за рахунок внутрішньої енергії робочого тіла. При цьому його температура знижується від Т1 до Т2.
Після того, як робоче тіло досягне деякого стану 3, процес розширення газу з виконанням роботи припиняється. Для здійснення кругового процесу, необхідно робоче тіло повернути в первинний стан (в точку 1).
Для цього, від якої-небудь зовнішньої машини підводиться робота до робочого тіла, в результаті газ стискається до стану 4. При цьому, температуру газу підтримують постійною при T1 = const, тобто процес 3-4 - ізотермічний процес стиснення газу. Для реалізації даного процесу від робочого тіла, яке нагрівається в процесі стиснення, відводять якусь кількість теплоти q2 до ХДТ, при чому ТХДТ < Т2.
Кількість відведеної теплоти можна розрахувати графічно, як площу під лінією 3-4 на Т-s - діаграмі (заштрихована), а також аналітично:
q
(3.20)
Після того, як робоче тіло досягне стану 4, відведення теплоти від нього припиняється. Дальше стиснення газу проходить по адіабаті 4-1 при s4 = s1 = const (на Т-s - діаграмі) без відведення від нього теплоти dq = 0 тільки за рахунок зовнішньої роботи. Адіабатичне стиснення продовжується до тих пір, поки газ не досягне стану 1 (первинного). Отже, робоче тіло здійснило круговий процес (цикл Карно).
Як було вже сказано, незворотність процесів може бути зменшена майже до нуля в тому випадку, якщо температура робочого тіла буде відрізнятися від температури джерела теплоти на нескінченно малу величину dT. Тоді можна записати наступну систему рівнянь:
(3.21)
Т1 = ТГДТ - d T;
Т
(3.22)
Таким чином, цикл Карно складається з двох ізотерм і двох адіабат.
Робота, яка виконується газом в процесі розширення - площа під кривою 1-2-3 (на p-v - діаграмі), а робота, яка затрачається при стисненні газу - площа під кривою 4-3-1 (на p-v - діаграмі). Корисна робота, яка виробляється при здійсненні кругового процесу і віддається зовнішньому споживачу:
(3.23)
l ц = lрозш - lст .
На p-v - діаграмі ця робота буде еквівалентна площі, обмеженій лініями 1-2-3-4-1.
Теплота циклу на T-s-діаграмі буде еквівалентною площі, обмеженій лініями 1-2-3-4-1. Аналітично цю кількість теплоти можна підрахувати за рівнянням:
(3.24)
qц = q1 – q2 =(T1 – T2) ·∆s .
Якщо розширення робочого тіла в адіабатичному процесі 2-3 та стиснення його в адіабатичному процесі 4-1 відбувається без тертя і виконуються вище вказані умови (система рівнянь 3.21), то такий цикл буде оборотним.
Для таких кругових процесів справедливо
q
(3.25)
Тоді можна записати наступну рівність
l
(3.26)