3.6.3. Термічний та холодильний коефіцієнти циклів Карно (прямих оборотних і необоротних)

Розглянемо термічний ККД циклу Карно. Ми вже знаємо, що термічний ККД довільного циклу визначається співвідношенням

η_т. =(q₁ – q₂)/q₁,

тут q₁ = T₁∆s та q₂ = T₂∆s, але q₁ > q₂ та T₁ > T₂

тоді можна записати для циклу Карно

(3.32)

η_т.к. = (T_I∆s - T₂∆s)/T_I∆s = (T_I - T₂)/T_I .

Отже, для циклу Карно термічний коефіцієнт корисної дії буде максимальним, тобто

η_т.к = η_т.max = 1 – (Т₂/Т₁),

так як T₂ ≠ 0, то T₂/T_I = 0 і тому η_т.к ≠ 1.

Термічний ККД циклу Карно перетворюється в одиницю в двох практично недосяжних випадках: або коли T_I = ∞, або коли T₂ = 0

Порівняємо тепер величини термічних ккд оборотного та необоротного циклів Карно з ідеальним газом, які здійснюються між одними і тими ж джерелами теплоти, що мають температури Т_ХДТ і Т_ГДТ. У відповідності з цим очевидно, що для підрахунку η_т оборотного циклу Карно, ми повинні у рівняння (3.32) замість величин Т₁ і Т₂ підставити відповідно рівні їм (з точністю до нескінченно малої величини) значення Т_ХДТ і Т_ГДТ:

, (3.33)

де - термічний ккд оборотного циклу Карно.

Для необоротних процесів різниця між температурами джерел теплоти і робочого тіла мають кінцеве конкретне значення:

(3.34)

T_I = Т _гдт - ∆T_I ,

(3.35)

T₂ = Т_хдт + ∆ T₂ ,

В цьому випадку робочий інтервал циклу звужується, оскільки T_I < Т_гдт, T₂ > Т_хдт. Із врахуванням цих співвідношень отримаємо із (3.33):

(3.36)

η^н.ц.к _т.=(Т_гдт - Т_хдт) - (∆T_I + ∆T₂)/(Т_гдт - ∆T_I),

де η^н.ц.к _{т. –} термічний ккд необоротного циклу Карно.

Отже

(3.37)

η^н.ц.к _т < η^о.ц.к _т,

тобто, термічний ккд необоротного циклу Карно завжди нижчий, ніж термічний ккд оборотного циклу Карно. Зауважимо, що цей висновок отриманий нами поки що для циклу Карно, який здійснюється на ідеальному газі з постійною теплоємністю.

До аналогічного висновку можна прийти і при графічному порівнянні оборотного і необоротного процесів (рис. 3.6).

Рис. 3.6. Умовне графічне зображення прямого необоротного циклу Карно на T-s- діаграмі.

Необоротність процесу пов’язана із втратою роботи, і тому термічний ккд необоротного циклу Карно η^н.ц.к_т завжди менший від оборотного η^о.ц.к_т , який визначається за формулою (3.32). На рис. 3.6 умовно зображено необоротний цикл A-B-C-D-A, в якому ділянки BC і DA являють собою відповідно необоротні адіабати розширення і стиснення, які протікають із зростанням ентропії. Робоче тіло отримує від нагрівача теплоту в кількості q_I = пл. A-B-M-K-A і віддає холодильнику теплоту в кількості q^н₂ = пл. C-D-N-Н-С. В оборотному циклі Карно - q⁰₂ = пл. F-E-K-M-F < q^н₂ і тому

η^о.ц.к_т = 1 – (q₂/q₁) > η^н.ц.к_т = 1 – (q^н₂/q₁). (3.38)

Теорема Карно: термічний ккд оборотного циклу, який здійснюється між двома джерелами теплоти, не залежить від властивостей газоподібного робочого тіла, при допомозі якого цей цикл здійснюється, (але залежить від температур ХДТ та ГДТ). Таким чином, всі висновки, які були зроблені нами раніше на основі аналізу оборотного циклу Карно, який здійснюється з допомогою ідеального газу, що має постійну теплоємність, справедливі для оборотного циклу Карно з будь-яким робочим тілом. Зокрема, стосовно до будь-якого оборотного циклу Карно, справедливе отримане раніше рівняння (3.32) для термічного к. к. д. циклу можна записати у вигляді:

η^о.ц.к_т = (Т₁ – Т₂)/Т₁.

Отже, на здійснення оберненого оборотного циклу Карно була затрачена ззовні робота l_ц, яка еквівалентна пл. 1-2-3-4-1 (рис. 3.5а), при цьому від холодильника з температурою Т_хдт отримана теплота в кількості q₂ (рис. 3.5б). Для цього циклу Карно холодильний коефіцієнт розраховується за рівнянням:

ε

(3.39)

= q₂/l_ц = q₂/(q₁ – q₂) = пл. 4-3-б-а-4/(пл. 1-2-б-а-1 – пл. 4-3-б-а-4) =

= ΔsT_хдт/(ΔsT_гдт - ΔsT_хдт) = T_хдт/(T_гдт - T_хдт).