1.3 Классическое определение вероятности и случайного события

При выполнении комплекса условий S достоверное событие обязательно произойдет, а невозможное обязательно не произойдет. Однако наступление или не наступление случайного события можно ожидать или не ожидать с меньшим или с большим основанием. Например, если в урне белых шаров больше, чем черных, то при вынимании одного шара

Можно с большим основанием ожидать, что вынутый шар белый.

Величина, определяющая, насколько значительны объективные основания рассчитывать на появление события, называется вероятностью события.

Будем обозначать P(A) – вероятность наступления события A. Количественно, вероятность наступления события A можно рассчитать по формуле

P(A) = ,

где m – количество случаев, благоприятствующих наступлению события А,

n – количество всех возможных случаев.

Очевидно, что P(U)=1, а P( )=0.

1.4. Свойства вероятностей

1. P(A) 0, для любого события А.

2. P(U) = 1

3. Если A и B несовместимые события (AB= ), то P(A + B) = P(A) + P(B)

4. P( ) = 1 – P(A)

5. Если A и B совместны, то P(A + B) = P(A) + P(B) – P(AB)

Свойства(3) и (5) называют теоремой сложения вероятностей для совместных и несовместимых случаев

Рассмотрим задачи на определение вероятностей.

Задача № 1

В коробке 20% белых и 30% синих платков. Наудачу берут один платок. Какова вероятность, что он оказался белым или синим?

A – событие, состоящее в том, что платок белый;

B – событие, состоящее в том, что платок – ИЛИ белый, ИЛИ синий.

События A и B – несовместные.

P(A + B) = P(A )+ P(B) = 0,2 +0 ,3 = 0,5

Задача № 2

В колледже 36 карт. Наудачу выбираем карту. Какова вероятность, что выбранная карта ИЛИ Дама, ИЛИ пиковой масти?

А – событие, состоящее в том, что выбранная карта – «ДАМА»

B – событие, состоящее в том, что выбранная карта – «ПИКИ»

A + B – событие, состоящее в том, что выбранная карта ИЛИ Дама, ИЛИ пики. В данном случае А и B совместные события, т.к. наудачу выбранная карта может оказаться дамой пиковой масти.

P(A + B) = P(A) + P(B) – P(AB)

P(A) =

P(B) =

P(AB) = 1/9, т.к. во всех 9 картах пиковой масти, только 1 – дама.

P(A + B) =

1.5. Условная вероятность

Теорема умножения вероятностей

Р(А/В) – вероятность события В при условии, что событие А уже произошло. Такую вероятность будем называть условной.

Р(А/В) =

Тогда справедлива теорема умножения вероятностей для зависимых (1) и независимых событий(2)

Р(АВ) = Р(А)*(В/А), (1)

если Р(В/А) = Р(В), то событие В называется независимым от А и

Р(АВ) = Р(А)*Р(В) (2)

Задача № 3

Два стрелка делают по одному выстрелу и попадают по цели с вероятностями соответственно 0,5 и 0,7. Какова вероятность, что хотя бы один стрелок попал?

А – событие, состоящее в том, что попал 1-ый стрелок;

В – событие, состоящее в том, что попал 2-ой стрелок;

АВ – событие, состоящее в том, что И первый, И второй стрелки попали.

= – так можно описать событие, которое состоит в том, что никто не попал. Тогда событие, состоящее в том, что хотя бы один из них попал, будет противоположно событию, состоящему в том, что никто не попал. По свойству вероятностей (4), вероятность Р такого события можно вычислить:

Р = 1 – Р( )

Р( ) = Р( )Р( )

Р = 1 – 0,5 * 0,3 = 0,85