1.6. Формула полной вероятности
Пусть событие А может произойти только совместно с одним из n попарно несовместимых событий Н1, Н2, …, Нn
НiНj =
А = АН1 + АН2 + … + АНn
Р(А) =
– формула полной вероятности.
Hi называют гипотезами
А/Нi называют событием А при условии, что произошла Hi гипотеза
Р(Нi) – вероятность гипотез. Обязательно
должно быть, чтобы
= 1
Задача № 4
Пусть имеются 10 урн, в которых 5 белых и 15 черных шаров; 20 урн, в которых 15 белых и 5 черных шаров; 30 урон, в которых 10 белых и 10 черных шаров. Из наудачу выбранной урны наудачу выбрали один шар. Определить вероятность того, что выбранный шар – белый.
Событие А состоит в том, что выбранный шар – белый. Этот шар может быть из урн I типа, II или III типа. Иными словами – событие А наступает совместно с одной из гипотез.
Н1 – гипотеза, состоящая в том, что белый шар вынули из 10 урн I типа.
Н2 – гипотеза, состоящая в том, что белый шар вынули из 20 урн II типа.
Н3 – гипотеза, состоящая в том, что белый шар вынули из 30 урн III типа.
Р(Н1) =
=
;
Р(Н2) =
=
;
Р(Н3) =
=
=
Р(А/Н1) =
– вероятность вынуть белый шар из первых
10 урн.
Р(А/Н2) =
,
Р(А/Н3) =
.
По формуле полной вероятности
Р(А) =
=
1.7. Формула Байеса (гипотез)
Очень часто необходимо вычислить вероятность гипотезы после наступления события А: Р(Hj/А)
Р(Hj/А) =
Эта формула называется формулой Байеса или формулой гипотез, т. к. позволяет вычислить вероятность гипотезы после опыта через вероятность гипотезы до опыта.
Задача № 5
Пусть комплекс условий S такой же, как в задаче 4. Вынули 1 шар. Он оказался белый. Какова вероятность, что белый шар из первых 10 урн?
До того, как стало известно, что выбранный шар – белый
Р(Н1) =
,
Р(Н1/А) =
После опыта, когда стало известно, что выбрали белый шар, вероятность гипотезы, что этот шар из первых 10 урн – 1/13
Задача № 2
2.1. Независимые испытания. Формула Бернулли
Пусть комплекс условий S воспроизводится n раз и каждый раз событие A наступает с вероятностью p и не наступают с вероятностью q = 1- p. Для каждого из n независимых испытаний справедливо:
-
1
0
p
Q
Такая таблица называется индикатором события A
Возникает необходимость вычислить вероятность наступления события A ровно m раз в n независимых повторных испытаниях. Такую вероятность будем обозначать Pmn.
Задача № 6
Всхожесть семян 10%. Посадили 5 семян.
Какова вероятность, что взойдет не менее трех?
A – семян взошло.
Индикатор события A:
-
1
0
0,1
0,9
Событие, состоящие в том, что взойдет не меньше 3-х семян – это событие, состоящее в том, что взойдет ИЛИ 3, ИЛИ 4, ИЛИ 5 семян.
Следовательно, P(m 3) = P3,5 + P4,5 + P5,5
P(m 3) = 0,00856 =0 ,86%