2.2. Асимптотические формулы для вычисления Pmn

При больших m и n практически пользоваться формулой Бернулли затруднительно.

Задача № 7

С вероятностью 0,6 лампа выходит из строя после T часов работы. Какова вероятность того, что из 200 ламп останутся исправными более половины?

n = 200, m = 100

P100,200 – вероятность того, что из 200 выйдут из строя 100

Индикатор события A – «ламп несправна»:

1	0
0,6	0,4

P(m>100) = P(m = ИЛИ 101, ИЛИ 102, …, ИЛИ 200) = 1 – P100,200

Вызывает затруднение расчет

В случаях, когда p отличается от нуля, а m и n велики необходимо применить асимптотическую формулу для приближенного вычисления P_mn:

,

где – малая функция Лапласа, значения которой можно найти в таблицах для каждого x.

В Задаче № 7 имеем:

np =

m = 100

npq =

(2,89) = 0,0061 (учебник из списка литературы [1], Приложение 2, Таблица 1)

Задача № 8

Книга в 500 страниц содержит 100 опечаток. Какова вероятность того, что на случайно выбранной странице ровно 2 опечатки?

Вероятность того, что на случайно выбранной странице есть опечатка .

Опечаток всего 100, т.е. число испытаний (опечаток) n = 100, а m = 2.

По формуле Бернулли

В случаях, так называемых, редких явлений, когда p достаточно мало, а n велико, более точный результат дает другая асимптотическая формула для вычисления

,

Эта формула называется формулой Пуассона, а – параметром распределения. Вычислим P2,100 из задачи 8 по формуле Пуассона.

= np =

Задача № 3

3.1. Понятие случайной величины и её функция распределения

Величина, которая в зависимости от случая может принимать те или другие числовые значения, называется случайной. Универсальным способом задания случайной величины X является её функции распределения F(X), которая определяется

F(X) = P(X<x)

Функция распределения F(X) случайной величины X – это вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньше некоторого конечного числа x.

Задача № 9

Пусть случайная величина X – число выпавших «орлов» при 3-разовом подкидывании монеты. Построить функцию распределения F(X).

Итак, X может принять значения 0, 1, 2, 3 с соответствующими вероятностями P_0,3, P_1,3, P_2,3, P_3,3.

P_mn могут быть рассчитаны по формуле Бернулли. Данные расчётов можно свести в таблицу.

Такую таблицу будем называть рядом распределения

Xi	0	1	2	3
Pi	1/8	3/8	3/8	1/8

= 1, т.к. были рассмотрены все возможные случаи выпадения «орлов» при 3-разовом подкидывании монетки.

Будем строить F(X).

X	F(X)
0	F(0)=P(x<0)=0
1	F(1)=P(x<1)=P(X=0)=1/8
2	F(2)=P(x<2)=P(X=0 ИЛИ 1)=1/8+3/8=4/8
3	F(3)=P(X<3)=P(X=0 ИЛИ 2)=1/8+3/8+3/8=7/8
4 и др.	F(4)=P(X<4)=P(X=0 ИЛИ 1, ИЛИ 2, ИЛИ 3)=1

Получилась ступенчатая прерывная (изменяющаяся «скачком» справа) неубывающая функция. Справедливо

P(x1 X x2) = F(x2)-F(x1)