Вывод закона Джоуля-Ленца на основе электронной теории

Постановка задачи: необходимо получить выражение для удельной тепловой мощности тока.

К концу свободного пробега каждый электрон приобретает под действием поля дополнительную кинетическую энергию

. (3.40)

При столкновении вся эта энергия передается решетке и переходит в теплоту.

Обозначим - количество соударений, которое каждый электрон испытывает в единицу времени.

. (3.41)

В единицу времени в единице объема проводника выделяется теплота

= . (3.42)

Подставим в (3.42) выражение для и , произведём сокращения и получим:

. (3.43)

Сравним полученное выражение с законом Джоуля-Ленца в дифференциальной форме:

. (3.44)

Формулы (3.43) и (3.44) совпадают, если удельное электрическое сопротивление равно .

Вывод закона Видемана-Франца на основе электронной теории

Полученный экспериментально закон Видемана-Франца состоит в следующем. Отношение коэффициента теплопроводности металла к его удельной электропроводности не зависит от природы металла и пропорционально абсолютной температуре:

. (3.45)

В электронной теории предполагается, что теплопроводность металлов осуществляется электронами проводимости (электронным газом). Коэффициент теплопроводности частиц идеального газа определяется формулой:

, (3.46)

где - плотность электронного газа, - его удельная теплоемкость. Эти величины определяются выражениями:

, (3.47)

. (3.48)

Здесь R – универсальная газовая постоянная, k – постоянная Больцмана, - концентрация электронов, - масса электрона.

Подставим выражения (3.47) и (3.48) в формулу (3.46); после сокращения получим выражение для теплопроводности металла:

. (3.49)

Электропроводность металла определяется формулой:

. (3.50)

Отношение этих величин равно:

. (3.51)

Так как средняя квадратичная скорость теплового движения равна , то

. (3.52)

3.6. Достоинства и затруднения классической электронной теории металлов Классическая электронная теория металлов (как и любая другая теория) имеет свои достоинства и недостатки.

Электронная теория объясняет существование электрического сопротивления; обосновывает законы Ома и Джоуля-Ленца, обосновывает закон Видемана-Франца.

В то же время некоторые выводы теории не соответствуют опытным фактам. Рассмотрим затруднения электронной теории более подробно.

1. Из формулы (3.39) следует, что сопротивление металлов возрастает с температурой по закону: ρ ~ . Этот вывод противоречит экспериментальным результатам, согласно которым ρ ~T.

2. Согласно представлениям электронной теории электронный газ должен обладать молярной теплоемкостью . Грамм-атомная теплоемкость кристаллической решетки . Тогда грамм-атомная теплоемкость металла должна быть равна

. (3.53)

Теплоемкость диэлектриков, в которых нет свободных электронов, должна быть равна 3R. Опыт же показывает, что теплоемкости металлов и диэлектриков существенно не отличаются.

3. С точки зрения классической электронной теории нельзя объяснить явление сверхпроводимости, которое заключается в следующем. При понижении температуры (до нескольких градусов Кельвина) у некоторых металлов сопротивление скачком уменьшается практически до нуля (рис.3.5).

В таблице 3.3 приведены критические температуры перехода в сверхпроводящее состояние для некоторых металлов.

Таблица 3.2.

Металл	Тк , ^оК
Hg	4,1
V	5,3
Pb	7,2
Nb	9,3
Al	1,2
Sn	3,7