Лебедев А.И. Физика полупроводниковых приборов

12 Гл. 1. Полупроводниковые диоды

где Eg — ширина запрещенной зоны полупроводника, Nc и Nv — эффективные плотности состояний в зоне проводимости и валентной зоне, к — постоянная Больцмана, а Т — температура полупроводника, щ — собственная концентрация носителей заряда.

При достаточно высокой температуре, когда примесные атомы практически полностью ионизованы, в состоянии рав-

новесия в		n-области, легированной донорами с				концентраци-
ей Nd,	концентрация основных			носителей	(электронов)			равна
no « Nd, концентрация неосновных носителей (дырок)								равна
РпО —	Дч). причем no » n j »			рпо. В области р-типа,				легиро-
ванной	акцепторами с концентрацией Na,				концентрация			дырок
равна	ро ~	Na,	концентрация	электронов	равна	про	=	nf/po,
причем	ро	чц	ПроЗдесь	и далее индексом		0	мы	будем

обозначать равновесные концентрации носителей.

Рис, 1.1. Распределение плотности заряда р, электрического поля Е и потенциала ф в резком р-n-переходе. Внизу — энергетическая диаграмма р-п-перехода в отсутствие внешнего смещения

Если привести в соприкосновение полупроводники разного типа проводимости (см. рис. 1.1), то в области их контакта начинается диффузия: электроны из n-области диффундируют

/. 1. Потенциальный барьер в р-п-переходе	13
в р-область (где их равновесная концентрация про	по) и там

рекомбинируют с дырками, а дырки диффундируют из р-области

в п-область (где рпо	ро) и т а м рекомбинируют	с электрона-
ми. В результате этого	область п-типа заряжается	положитель-

но, а р-область — отрицательно. Возникающее при этом электрическое поле сосредоточено вблизи границы р- и п-областей и направлено так, что препятствует диффузии. Поскольку это электрическое поле выталкивает свободные носители из погра-

ничной области, на границе р-	и n-областей возникает обеднен-
ный (свободными носителями)	слой, в котором пространствен-

ный заряд формируется оставшимися после ухода свободных носителей положительно заряженными донорами и отрицательно заряженными акцепторами. Перераспределение носителей продолжается до тех пор, пока не установится такой энергетический барьер, при котором в каждой точке р-п-перехода дрейфовые токи носителей в электрическом поле £ не будут точно компенсировать их диффузионные токи, то есть плотности полных токов электронов и дырок не станут равными нулю:

Jn ~ ЯИппЬ + qDnVn = О, J p = qfippZ — qDpVp — 0. (1.2)

В этой формуле fin и pv — подвижности электронов и дырок, Dn и Dp — их коэффициенты диффузии, a q — величина элементарного заряда.

В состоянии термодинамического равновесия, когда к р - п - переходу не приложено никакого внешнего напряжения, положение уровня Ферми F во всем кристалле одинаково (см. рис. 1.1). Это позволяет найти высоту возникающего барьера и связанную с ним контактную разность потенциалов фк. О Используя известные из курса физики полупроводников соотношения между концентрацией электронов и дырок и положением уровней Ферми Fn и Fp относительно края зоны проводимости Ес и края валентной зоны Ev в невырожденном полупроводнике,

n = J V c e x p Р =

(1.3)

О В зарубежной литературе эта величина часто обозначается как Иь где И — сокращение от built-in («встроенный» потенциал).

14	Гл. 1. Полупроводниковые диоды

и выражая Е я из формулы (1.1), получаем

дфк = Fn-Fp = Ед- (Ес - Fn) - (Fp - Ev) =

(1-4)

Для оценки величины q<f>k рассмотрим кремниевый р-n-переход с

JVrf = Na = 4 • 1015 см~3.	Учитывая, что при комнатной температуре
кТ = 0,0259 эВ, а щ «	Ю10 см"3, из формулы (1.4) находим	«

ft 0,668 эВ, что на 0,45 эВ меньше ширины запрещенной зоны кремния (Eg = 1,12 эВ). Для диодов, изготовленных из невырожденных полупроводников, высота потенциального барьера обычно оказывается на 0,2-0,5 эВ меньше ширины запрещенной зоны полупроводника» из которого они изготовлены.

Рассчитаем теперь распределение потенциала и напряженности электрического поля в р-п-переходе. Для этого нам надо решить уравнение Пуассона

связывающее электростатический потенциал ф и напряженность электрического поля £ с плотностью объемного заряда р и диэлектрической проницаемостью полупроводника е. О

Для простоты рассмотрим случай плоского p-n-перехода, для которого уравнение (1.5) сводится к одномерному дифференциальному уравнению,

= f x	= 1 Г =	4-т		+	Вд-та].	(1.6)
с граничными	условиями	€ = 0,	р = 0	в нейтральных		областях

вдали отр-п-перехода (рис. 1.1). В правой части этого уравнения

мы	учли все подвижные и неподвижные заряды,	находящие-
ся	в р-п-переходе. При комнатной температуре в	большинстве

практически важных полупроводников мелкие донорные и ак-

цепторные уровни полностью	ионизованы,	и концентрации этих
ионизованных уровней равны	N} « N4, N~	Na.

1) Здесь и далее мы будем записывать все уравнения в системе СГСЭ. Для перехода в систему СИ во всех формулах необходимо заменить г на Аиеео, где

£о = 8,85 • Ю-14 Ф/см — электрическая постоянная.

/ . 1. Потенциальный	барьер в	р-п-переходе	15
В обедненном слое (—хп <х	< хр),	в котором за счет изгиба

зон локальные концентрации электронов и дырок удовлетворяют

соотношениям п <С JVj и р «С N~,			уравнение (1.6) упрощается и
можно записать:
<&ф	47rg	жт	при	- хп	Л
—г-тг «	— - Nd				< х < О,
ахг	е
ах1	е	ЛГа	при	0 <	х < хр.	(1.7)

В наиболее простом случае, когда концентрация легирующих примесей в областях р- и n-типа не зависит от координат (такой р-п-переход называется резким 1)), интегрирование этих уравнений с учетом граничных условий дает:

ед =

ЩХ + Хп), ф(х) =

Nd(x + хп)\

(1.8)

£{х) =	Na(x - хр), 4№ = Фр + — Ма{*-*р)2*	О-9)
£	£

где фп и фр — значения потенциала в нейтральных п- и р- областях р-п-перехода. «Сшивая» полученные решения для £ и ф в точке х ~ 0, из равенства для £ получаем условие электронейтральности образца ( N a x p = NdXn)> а из равенства для ф — уравнение для контактной разности потенциалов:

		Фк =	Ф п ~ Ф р = ^		+ ЯаХ*).	(1.10)
				С
Выражая теперь с			помощью	условия	электронейтральности ве-
личины	хр	и хп как доли		полной толщины обедненного		слоя
W = хр	+ хп	и подставляя их в уравнение (1.10), находим

=

(1.11)

J) Приближение резкого р-n-перехода применимо к структурам, в которых толщина переходной области (в которой разность N4 — Na заметно меняется) мала по сравнению с толщиной обедненного слоя. На практике такие р-п- переходы получают либо вплавлением примеси в легированный полупровод* ник, либо наращиванием эпитаксиального слоя полупроводника одного типа проводимости на подложку, изготовленную из полупроводника другого типа проводимости; в обоих случаях диффузионное размытие профиля легирования >а время создания р-п-перехода оказывается небольшим.

16	Гл. 1. Полупроводниковые		диоды
где N* — NdNa /{Nd + N a )		— так называемая приведенная		кон-
центрация	примеси. Из	этой формулы	сразу же следует,	что

толщина области пространственного заряда равна

W = i ~ 2 ( U 2 )

Таким образом, толщина области пространственного заряда уменьшается с ростом концентраций легирующих примесей.

Если р-n-переход легирован асимметрично (то есть Nd ф Ф Na), то, как следует из полученных формул, область пространственного заряда в основном располагается в области, которая легирована слабее, а такие характеристики р-n-перехода, как W и £} определяются концентрацией примеси в этой слабо легированной области (базе диода). О

Сделаем два замечания, касающихся ранее пренебрегавшегося нами вклада свободных носителей в величину р в уравнении (1.6).

Первое замечание касается пренебрежения вкладом свободных носителей на краях р-п-перехода, где изгиб зон мал. На самом деле строгим решением уравнения (1.6) в этой области является экспоненциальное затухание £ по мере удаления от перехода с характерным_^асштабом, равным дебаевской длине экранирования Ld —

= yjekTf (Ажфщ) (1]. Можно показать, что если последовательно

учесть вклад свободных носителей, то конечная формула (1.12) останется такой же за исключением того» что в ней вместо фк будет

стоять величина (фк — 2 k T f q ) . Однако поскольку обычно фк	кТ,
при качественных рассуждениях этой поправкой часто пренебрегают.

Второе замечание относится к асимметрично легированным р-n-переходам. Рассмотрим его на примере р+—га-перехода. 2) Если асимметрия легирования велика ((Na/N<i)\ii(Na/Nd) > цфк/кТ)% то вблизи границы р-п-перехода со стороны n-области появляется тонкий слой, в котором концентрация дырок р > N £ и, таким образом, приближение р « qN£ (формула (1.7)) в этом слое оказывается неприменимым. В этом случае форму потенциального барьера рассчитывают, разбивая р-га-переход не на две, а на три области [2].

{) Базой диода (от англ. base — основание) обычно называют механически прочную пластинку из слабо легированного полупроводника, на поверхности которой создается полупроводниковая структура. При диффузии или вплавлении примеси в такую пластинку обычно образуются асимметрично легированные р-n-переходы.

*) При указании слоев в полупроводниковых структурах принято для обозначения сильно легированной области сразу за типом ее проводимости писать знак плюс (р+, п4"), а слабо легированные области р- и n-типа обозначать греческими буквами тг и и.

/. 1. Потенциальный барьер в р-п-переходе

17

Вклад свободных носителей в формирование потенциального барьера может оказаться существенным и в ситуациях, в которых проявляется туннельный эффект. О влиянии туннелирования носителей на вольт-амперные характеристики барьеров Шоттки мы будем говорить на с. 94.

Рассмотрим теперь как изменится распределение электрического поля и потенциала в случае, когда к р-п-переходу приложено внешнее смещение. Если пренебречь изменением плотности пространственного заряда, которое может возникать при прямом смещении в результате инжекции носителей, 0 то проведенные выше вычисления можно повторить и для этого случая. Поскольку в уравнениях изменяются лишь граничные условия, то все

изменения сводятся к тому,	что вместо	фп~ Фр	= Фк в форму-
ле (1.10) следует писать фп~	Фр — Фк~	V, где V	— напряжение

смещения на переходе (V < 0 для обратного смещения). В итоге, выражение для толщины обедненного слоя резкого р-п-перехода в общем случае имеет вид

< 1 Л З )

Из этого уравнения следует, что при прямом смешении на диоде (плюс к р-области, V > 0) высота барьера и толщина обедненного слоя уменьшаются, а при обратном смещении — возрастают.

Оценим характерные значения толщины обедненного слоя и максимальной напряженности электрического поля в р-n-переходе. При V = 0 в симметрично легированном р-n-переходе нз Si с N<t = Na — = 4 • 1015 см"3 W « 0,66 мкм. Как следует из рис. 1.1, максимальная напряженность электрического поля в резком р-п-переходе достигается на границе р- и тг-областей. Нетрудно показать, что для резкого перехода она равна £ т а х = 2(фь — V)/W(V)4 то есть для рассматриваемого нами примера значение £ т а х при V = 0 составляет « 2 • 104 В/см. При более низких уровнях легирования и подаче обратного смещения толщина обедненного слоя может достигать сотен мкм.

Рассмотрим теперь другую важную и допускающую аналитическое решение задачу — случай плавного р-п-перехода

(см. рис. 1.2). Плавным			называют переход, в котором разность
концентраций Nj		— Na	является линейной функцией координаты
Nd-Na	= -ах.	2)

О О явлении инжекции мы будем говорить в п. 1.2.1.

2) Такое распределение примесей часто получается в диодах, созданных диффузией, когда характерный масштаб размытия диффузионного профиля намного превышает толщину области пространственного заРяДаЦ ДУРНАЯ

f I	Ofil 2	б и б л и о т е к а
		*

18 Гл. 1. Полупроводниковые диоды

область	область	В этом	случае	уравнение Пуас-
п-типа	р-тила	сона (1.6) приобретает вид
			d£	4тгр
		dx2	dx	е	(1.14)

4irq (р —n — ах),

Ф

Рис. 1.2. Распределение плотности заряда р, электрического поля£ и потенциала ф в плавном р-тг-переходе

где а — градиент разности концентраций легирующих примесей. Как и выше, в области пространственного заряда {—W/2 <х< W/2) пренебрежем вкладом свободных носителей (|р — п| «С а|х|) и будем решать уравнение с граничными условиями

£ = 0 при х = ±Wf2. О

Интегрирование уравнения (1.14) для случая произвольного напряжения смещения V на переходе дает:

£(х) =	iwqa (W/2)2	- х:	Ф к - V =	тгqaW*	(115)
				Ze

откуда для толщины обедненного слоя в плавном р-п-переходе получаем

(1.16)

\ irqa )

Контактную разность потенциалов фк в плавном р-п-переходе можно оценить по формуле (1.4), считая ее равной изменению потенциала в области пространственного заряда:

Ф к * ! £	. . ( " У )	2кТ	х	(aW	(1.17)
		q		у2п»

В плавных переходах величина фк обычно оказывается несколько меньше, чем в резких р-га-переходах.

Как видно из рис. 1.2, распределение электрического поля в плавном р-п-переходе более однородно, чем в резком переходе;

') Строго говоря, из-за неоднородного легирования полупроводника напряженность электрического поля вдали от плавного р-п-перехода равна |£| ~ « kT/(q\x\) и никогда не обращается в нуль. Тем не менее, мы можем пользоваться граничными условиями £ = О, поскольку это поле намного меньше максимального поля в р-п-переходе.

/. 2. Волып-амперная характеристика р-п-перехода

19

нетрудно показать, что максимальная напряженность поля в таком р-п-переходе равна £ т а х = Ъ(фк - V)/2W(V).

1.2.Вольт-амперная характеристика р-п-перехода

1.2.1.Вольт-амперная характеристика тонкого р-п-пере-

хода. В этом разделе мы получим аналитическое выражение

для вольт-амперной характеристики идеального р-п-перехода, которое было выведено Шокли в 1949 году [3].

Идеальным p-n-переходом называют такой переход, для которого выполняются следующие условия:

1)границы р-п-перехода резкие (то есть электрическое поле обращается точно в нуль на его краях);

2)полупроводник — невырожденный (к электронам и дыркам применима статистика Больцмана);

3)концентрация инжектированных неосновных носителей мала по сравнению с концентрацией основных носителей;

4)процессами генерации и рекомбинации в области пространственного заряда можно пренебречь (переход является тонким, то есть толщина области пространственного заряда много меньше диффузионной длины).

Вп. 1.1 мы показали, что на границе полупроводников разного типа проводимости возникает потенциальный барьер, который препятствует диффузии носителей, и полный ток через р-п- переход в состоянии равновесия равен нулю. Рассмотрим, что

будет происходить с диффузионным и дрейфовым токами, если к p-n-переходу приложить внешнее смещение.

Качественно картину происходящего можно представить следующим образом. В состоянии равновесия (при нулевом напряжении смещения, см. рис. 1.3а) высота потенциального барьера такова, что потоки носителей, протекающие через p-n-переход в обоих направлениях, точно скомпенсированы.

Например,	поток	электронов, движущихся из п-		в р-область
за счет диффузии		и	преодолевающих потенциальный барьер,
в точности	равен потоку неосновных электронов,			генерируемых
в р-области, которые,			подходя к р-п-переходу,	затягиваются

электрическим полем и дрейфуют в n-область. То же справедли-

во и для		дырок.
	Если теперь на р-п-переход подать напряжение							смещения,
то	равновесие		нарушится,		потоки	окажутся	некомпенсиро-
ванными		и через		переход	потечет	электрический		ток, Ясно,
что	значение		тока	будет	зависеть	от знака	приложенного

20	Гл. 1. Полупроводниковые диоды

	Е.
	F:
QV	F,
F„	ЫяУ FP

а	Хр 1П
	в
Рис. 1.3. Энергетическая диаграмма р-п-перехода при	нулевом (а), обрат-
ном (б) и прямом (в) смещении

напряжения. Если смещение отрицательно (минус к р-области, рис. 1.36), то высота потенциального барьера возрастает и поток носителей, преодолевающих потенциальный барьер, резко уменьшается. При этом ток неосновных носителей, затягиваемых электрическим полем р-п-перехода, не изменяется, и полный ток будет определяться этим током. Если же на р-п-переход подать

положительное смещение	V (плюс	к р-области,	рис. 1.3в),
то высота потенциального	барьера	понижается и	ток через

p-n-переход будет уже определяться током носителей, преодолевающих потенциальный барьер. Поскольку к электронам применима классическая (больцмановская) статистика и число

электронов, энергия которых			достаточна	для преодоления
барьера высотой	ц(фк	— V),	изменяется	пропорционально
ехр[—д(фк — V)/kT],	то	при V	> 0 ток будет экспоненциально

увеличиваться с ростом приложенного смещения. Преодолевшие потенциальный барьер носители, которые становятся неосновными носителями при переходе в область другого типа проводимости и концентрация которых вблизи р-п-перехода намного превышает равновесную концентрацию неосновных носителей, далее движутся в электрически нейтральных областях в основном за счет диффузии.

Таким образом, на основании проведенных качественных рассуждений можно ожидать, что вольт-амперная характеристика р-п-перехода будет сильно нелинейной. Направление смещения, при котором через p-n-переход протекает большой ток, называют прямым (пропускным), а противоположное направление — обратным (запорным).

Явление, при котором при пропускании электрического тока через смещенный в прямом направлении р-п-переход в полупроводнике создаются избыточные концентрации неосновных носителей, называют инжекцией неосновных носителей заряда.

/. 2. Волып-амперная характеристика	р-п-перехода	21
Выведем теперь формулу, описывающую вольт-амперную ха-
рактеристику идеального (тонкого) р-п-перехода.
Для начала введем понятие квазиуровней	Ферми. Часто ока-

зывается, что в неравновесных условиях, когда концентрации носителей заряда в полупроводнике отличаются от равновесных, распределение носителей по энергиям тем не менее можно описать распределением Ферми-Дирака или его частным случаем — распределением Больцмана (в невырожденном полупроводнике). 1) В этом случае все формулы для статистики электронов и дырок остаются такими же, как и в равновесии, но с единственным отличием: в них вместо равновесного уровня Ферми формально стоит некоторая новая величина, которую и называют квазиуровнем Ферми. Тогда для расчета концентраций свободных электронов и дырок можно использовать формулы (1.3), в которых вместо равновесного уровня Ферми стоят соответствующие квазиуровни F* и F'*:

п = Л Г с е х р ( - ^ ~ 5 ) , Р =

(1.18)

Другими важными соотношениями, которые могут быть использованы при описании полупроводников в неравновесных условиях, являются соотношения, связывающие полные плотности токов электронов и дырок (1.2) с наклонами соответствующих квазиуровней Ферми [I]:

З п = qHnnVF*t J p = q f i p p V F ; .

(1.19)

В случае, когда плотность токов мала, а концентрации носителей достаточно велики, эти соотношения позволяют обосновать введение единых квазиуровней Ферми в ограниченных областях пространственно неоднородных систем.

В соответствии с рассмотренной выше качественной картиной, протекание тока при подаче прямого смещения на р-п-пе- реход включает два этапа: 1) преодоление носителями потенциального барьера и 2) их диффузия в электрически нейтральных областях.

Для определенности рассмотрим дырочную составляющую тока в р-п-переходе. Если плотность тока не слишком высока и в обедненном слое можно пренебречь генерацией и рекомбинацией носителей, то при произвольном смещении концентрация

1) Для этого необходимо, чтобы времена жизни неравновесных носителей намного превышали характерные времена релаксации импульса и энергии [1].