Лебедев А.И. Физика полупроводниковых приборов

42	Гл. 1. Полупроводниковые диоды
где п	= тр-\-тп — время жизни	в собственном полупроводнике,
a Wi	— толщина г-слоя. При	вычислении интеграла в (1.59)

мы учли, что концентрации носителей в г-слое удовлетворяют

соотношению п р х р (условие	электронейтральности).
Если теперь обозначить		напряжения смещения на р-г-
и г-п-переходах через	и	и	выразить концентрации
инжектированных носителей через эти			напряжения,

(1 - 6 0 )

а затем учесть, что п = р, то легко видеть, что V\ = Vj. Выражая ток рекомбинации через суммарное падение напряжения на двух переходах V = Vj + V2, получаем

(1.61)

Это и есть вольт-амперная характеристика p-i-n-диода с тонким г-слоем. Сравнение полученной формулы с формулой (1.38) для

рекомбинационного тока в модели Са-Нойса-Шокли	показыва-
ет, что эти две формулы различаются лишь толщиной	области,
в которой происходит рекомбинация.

Полученная вольт-амперная характеристика не учитывает падения напряжения на г-области, которое может стать существенным при высокой плотности протекающего через диод тока. Поскольку при прямом смещении в р-г-п-диодах наблюдается сильная модуляция, проводимости г-области (проводимость этой области определяется инжектированными в нее электронами и дырками), то понятно, что сопротивление г-слоя будет какойто сложной функцией протекающего тока. Рассчитаем падение

напряжения на г-области в р-г-п-диоде с тонкой	базой.
В р-г-п-диоде с тонкой базой концентрация	инжектирован-

ных носителей в г-слое примерно постоянна и поэтому диффузионной компонентой тока можно пренебречь. Полагая, что ток в г-области определяется только дрейфом носителей, его можно записать следующим образом:

J = q(pnn + - <?(Дп + Рр) п€. (1.62)

Поскольку этот ток равен току рекомбинации, то

J —	+ Mp)n£ =	1	(n - щ).	(1.63)
		Ti

/. 2. Волып-амперная характеристика р-п-перехода

43

Из этого уравнения следует, что при п » щ напряженность электрического поля в г-области практически не зависит от протекающего тока, а падение напряжения на ней составляет

	(Ип + fipjTi	q (1 +by\La		J
При выводе последней формулы мы использовали					соотноше-
ние Эйнштейна D	— (kT/q)^,	чтобы перейти от подвижностей
к коэффициентам	диффузии,	выразили	сумму	Dn	+ Dp через
коэффициент амбиполярной диффузии Da			(1.25) и использовали
соотношение DaT{ = Ь\, чтобы перейти			к длине амбиполярной
диффузии

дополученный результат показывает, что за счет эффекта мо-

дуляции проводимости сопротивление г-слоя в р-г-п-структуре изменяется обратно пропорционально протекающему через него току, то есть приближение постоянного последовательного сопротивления, о котором мы говорили на с. 33, к таким структурам совершенно неприменимо. О

Более последовательный расчет вольт-амперной характери-

стики р-г-п-диода	с произвольным соотношением Wi/La	(5,	8]
показывает, что решение (1.64) справедливо при Wi/La		<	2.
При этом падение	напряжения на г-слое не превышает	0,05	В

и им во многих случаях можно пренебречь. Однако для структур с более толстым г-слоем зависимость V{ от Wj переходит в экспоненциальную:

кТ TrVb		(Wi .
и т	ш	" Ч г ц 1 •	а б 5 )
Этот случай характерен	для высоковольтных		р-г-п-структур

с толстым г-слоем, в которых падение напряжения на г-слое может достигать нескольких вольт. Поскольку в высоковольтных приборах толщина г-слоя выбирается исходя из напряжения пробоя (см. п. 1,3) и не может быть сделана меньше, для уменьшения падения напряжения р-г-п-диоды следует изготавливать из материала с как можно большим временем жизни (большей диффузионной длиной La). То же самое относится и к выбору материалов для изготовления тиристоров (см. п. 3.1.1).

') Заметим, что при очень высоком уровне инжекции, когда начинает проявляться взаимное рассеяние электронов и дырок, о котором мы говорили на с. 39, полученные выше выражения становятся еще более сложными.

= £Проб

44	Гл. 1. Полупроводниковые диоды

1.3.Явление пробоя р-п-перехода

Вэтом разделе мы рассмотрим различные механизмы пробоя, возникающего в р-п-переходах и р-г-п-структурах при высоком обратном напряжении.

Упрощенно можно считать, что для каждого полупроводника или диэлектрика существует некоторая критическая напряженность электрического поля £п р о б, по достижении которой в нем возникает электрический пробой — резкое возрастание протекающего тока, который может приводить к необратимому изменению свойств материала. Для полупроводников характерные значения £п р о б составляют ~100 кВ/см для Si и ~400 кВ/см

для GaAs.

Как было показано в п. 1.1, в р-п-переходе всегда существует достаточно сильное электрическое поле, величина которого зависит от напряжения смещения. Так, в резком р-п-переходе максимальная напряженность электрического поля равна

г шах

Приравнивая £ т а х и пренебрегая величиной ф^, которая обычно много меньше VnpoQ, из этой формулы нетрудно оценить напряжение пробоя р-п-перехода. Для асимметрично легирован-

ного р+ -п-перехода	имеем:
		(1.67)
	К р о 6	~ 8тгqNd
то есть если £Проб	не зависит от Nd, то напряжение пробоя

меняется обратно пропорционально концентрации легирующей примеси в базе диода, Отсюда можно сделать качественный вывод, что для создания высоковольтных приборов уровень легирования базы диода должен быть достаточно низким.

Из материала предыдущих разделов следует, что в резком, плавном р-п-переходах и р-г-п-структуре максимальная напряженность электрического поля составляет, соответственно,

2 ( ф к - У ) / 1 У , и &k-V)/W, и поэтому наи-

большими напряжениями пробоя при заданной толщине области пространственного заряда W (которая в конечном счете определяется толщиной базы диода) характеризуются р-г-п-структуры.

Сравнение зависимости (1.67) с экспериментом (рис. 1,)0) показывает, что на опыте зависимость Vnpoв от Nd оказывается

1.3. Явление пробоя

р-п-перехода

45

1000

100

со

10

1	1015	1016	1017	10I»
1014
	Nd,	см- з

Рис. 1.10. Зависимость напряжения пробоя асимметрично легированных р + — п - переходов из Ge. Si, GaAs и GaP с ориентацией < 1 0 0 > от уровня легирования n-области диода [14]. Пунктирной линией отмечено начало области туннельного пробоя

несколько более слабой ( ^ N ^ 4 ) . Кроме того, эксперимент показывает, что Кфоб зависит также и от ориентации р-п-перехода относительно кристаллографических осей, а при концентрации примесей выше ~ 2 - 101' с м - 3 вольт-амперные характеристики в области пробоя становятся более плавными, то есть пробой приобретает качественно иной характер. Это означает, что описанные выше представления о пробое являются чисто качественными, и нам следует более детально разобраться в физических процессах, протекающих в полупроводниковых структурах при пробое. Знание этих процессов важно не только для проектирования высоковольтных полупроводниковых приборов, но и имеет принципиальное значение для понимания принципов работы лавинно-пролетных диодов (п. 6.2) и лавинных фотодиодов (п. 7.1.5), в которых активно используется явление пробоя.

1.3.1. Лавинный пробой р-п-перехода. Одной из причин,

приводящих к пробою в полупроводниках, является ударная ионизация. Физика этого явления по сути достаточно проста: носители, ускоряемые сильным электрическим полем, могут набрать столь большую энергию, что начнут вызывать ионизацию полупроводника (рождение электронно-дырочных пар). [)

') При низких температурах в полупроводниках также возможно появление чримесного пробоя, при котором разогретые электрическим полем носители

46 Гл. 1. Полупроводниковые диоды

Поскольку рождающиеся при ионизации электроны и дырки сами начинают ускоряться и рождать другие электронно-дырочные пары, то процесс размножения электронов и дырок в сильном электрическом поле приобретает характер лавины, откуда и про-

исходит название лавинного пробоя.

Е *

зона

проводимости

зона тяжелых

\ *3> Еъ

Как и в любом кристалле, в полупроводнике при рождении электронно-дырочной пары в результате ударной ионизации должны выполняться законы сохранения - энергии и квазиимпульса

{Ek - Ei = Е2- Ez, ki -

зона легких

— k j = кг — кз, см. рис.

1.11).

Поэтому

скорость

ударной

дырок

ионизации

зависит от

зонной

структуры

полупроводника,

Рис. 1.11.

Энергетическая диаграмма,

то

есть

взаимного

располо-

жения ветвей Е ( к ) в области

поясняющая выполнение законов со-

хранения энергии и квазиимпульса при

энергий

на

несколько

эВ

ударной ионизации. Электрон и дырка

выше края зоны проводимо-

(частицы с индексами 2 и 3) возни-

сти и

ниже

края

валентной

кают в результате

перехода

горячего

зоны.

Так

как

в

результате

электрона

из

состояния с индексом г

акта

ударной

ионизации

в состояние с индексом 1

в кристалле возникают элек-

трон в зоне проводимости и дырка в валентной

зоне, то,

во-пер-

вых, ясно, что кинетическая энергия первичной

(ионизующей)

частицы

всегда

должна

превышать

Е д .

Во-вторых,

поскольку

зависимости

Е(к)

для электронов

и дырок

различаются

между

собой и зависят от направления в кристалле, то скорость

ударной

ионизации

оказывается

различной

для

электронов

и

дырок

и анизотропной. Например, в GaAs пороговая энергия электронов, выше которой они начинают ионизировать полупроводник,

составляет ЕПор = 2,05	эВ при	движении	вдоль оси <100>,
2,01 эВ при движении	вдоль оси	<110>,	а электроны, дви-

жущиеся вдоль направления <111>, вообще не могут вызывать ударную ионизацию из-за близкого расположения экстремумов зоны проводимости в точках L и Г (см. рис. 4.1). Для дырок

вызывают ионизацию мелких донорных или акцепторных уровней и тем самым резко увеличивают концентрацию свободных носителей, участвующих в проводимости. Примесный пробой в Ge при гелиевой температуре наблюдается уже в полях ~ Ю В/см [1].

1.3. Явление пробоя р-п-перехода

47

пороговые энергии равны 1,81 эВ при их движении вдоль оси <100> и 1,58 эВ при их движении вдоль направлений <110> и <111> [15]. Все эти энергии больше ширины запрещенной зоны GaAs, которая составляет 1,42 эВ. В кремнии ЕПОР &

ю 1,6 эВ [16].

Для количественного описания процесса ударной ионизации электронами и дырками вводят понятие коэффициентов ударной ионизации ск(£), которые определяются как вероятность создания соответствующим носителем электронно-дырочной пары при прохождении единицы длины в электрическом поле с напря-

женностью £:	1 Л ,	{ d p
	а» =	рТх-	(1'68)

Согласно модели Шокли [17], коэффициент ударной ионизации можно считать пропорциональным доле носителей, энергия которых превышает Епор. Очевидно, что лишь небольшая доля ускоряемых сильным электрическим полем электронов и дырок способна набрать энергию, достаточную для ионизации полупроводника, поскольку в рассеянии горячих носителей (носителей, энергия которых заметно превышает тепловую) преобладает рассеяние с испусканием оптических фононов, при котором носители быстро теряют свою энергию. Предположим, что длина свободного пробега горячего носителя X слабо зависит от его энергии. Тогда долю носителей, энергия которых превышает

£ п о р , можно оценить, зная X и расстояние I, которое		носитель
^должен пройти без столкновений,	чтобы набрать эту	энергию
(l = Enop/q£):	Е

Зависимость коэффициентов ударной	ионизации	электронов
и дырок от 1/5 для ряда полупроводников	показана	на рис. 1.12,

Как следует из рис. 1.12, проведенные выше рассуждения и фор-
мула (1.69) качественно	правильно описывают наблюдаемые
закономерности. Характерное		значение X для горячих носителей
в полупроводнике составляет		~100 А, тогда из формулы (1.69)
следует, что при Е п о р ~ 1	эВ для наблюдения лавинного умноже-

ния требуются поля порядка 10° В/см. Более последовательная теория, основанная на решении уравнения Больцмана для горячих носителей, была развита Бараффом [18].

Выведем теперь уравнения, описывающие изменение плотностей токов электронов и дырок в области сильного поля в условиях ударной ионизации [19]. Рассмотрим р-п-переход,

48	Гл. 1. Полупроводниковые диоды

10'

	ю1							GaAso,88Sbo,i2
								GaAs
Is	104	Г
и»
А.
Я	103 _
Pi
S
3							< U 1>
	102 _					G a P		Gao. 4 7 I n o .53As
						(an =ap )			<Ю0>
	10 о					J	I	I L	J	L
		2	4	6	8	0	2	4		6	8
		1/£,	10"6	см/В				1 /£,	10"6	см/В

Рис. 1.12. Коэффициенты ударной ионизации электронов и дырок в некоторых полупроводниках при Т = 300 К (14]

смещенный в обратном направлении, в который из нейтральных областей р- и n-типа втекают токи насыщения неосновных носителей Jsn и Jsp (см. рис. 1.13). Будем считать, что коэффициенты ударной ионизации зависят только от локальной напряженности электрического поля, а генерацией и рекомбинацией электроннодырочных пар в области сильного поля можно пренебречь. ') Выделим в области сильного поля вблизи точки с координатой х небольшой участок шириной dx (см. рисунок). Поскольку рождение электронов происходит при ионизации полупроводника как горячими электронами, так и горячими дырками, то изменение концентрации электронов и связанное с ним изменение плотности тока электронов Jn равно

	dJn	n	J	n	-f- otpJp,	(1.70)
	dx
		— a
	где o n и a p — коэффициенты			ударной ионизации		электронов
	и дырок. Соответствующее	уравнение для изменения				плотности

1) Рекомбинация носителей в области сильного поля действительно несущественна, поскольку характерные времена пролета носителями этой области обычно на несколько порядков меньше времени жизни.

1.3. Явление	пробоя	р-п-перехода	49
тока дырок Jp может быть	получено из (1.70) и условия,		что
полная плотность тока J = Jn + Jp		остается постоянной по всей
длине образца.

Jn	J s p ®

х=0

х x+dx

x=W

Рис. 1.13. Рисунок, иллюстрирующий решение уравнения (1.70)

Перепишем уравнение (1.70), выразив плотность тока дырок как Jp = J - J„ и перенеся искомую функцию <7п(я) в левую

часть:	, ,
	^ -	к	-<Xp)Jn = apJ.		(1.71)
Полученное	уравнение	является		линейным	дифференциальным
уравнением	относительно J n		с	коэффициентами, зависящими
только от х	(через зависимость £ = £(х)). Полное решение этого

уравнения имеет вид

				х
Jn(x)	= e~FW		U0)	+ J ap{x')eF^	dx'	,
		х		о		(1.72)
F{x)	=	[an(x') -		OLp(x')\dx',

о

где J„(0) = Jsn — граничное условие при x = 0.

Полученное уравнение слишком сложно для анализа, однако качественное представление о характере распределения токов в области сильного поля мы можем получить из решения этого

уравнения в случае ап =	ар. В этом случае функция F(x) = 0
и уравнение существенно	упрощается:

	Jn(x)	= Jn(0)	+ J	an(z') dx'	(1.73)
				о
Рассмотрим асимметрично			легированный		переход,	для
которого	выполняется	условие		> Jsp. Это	означает,	что
в область	сильного поля в основном затягиваются неосновные

50		Гл. 1. Полупроводниковые диоды
	л	J—Jn~\~Jp	носители	(электроны)	из р-
			области,	а вклад	дырок,
			приходящих из п-области,
			пренебрежимо мал. Поэтому
			граничные	условия в	точке

Jsn				х = W	можно	записать			так:
				JP (W) = 0,		Jn(W)		=	J.
о		w	X
				Распределение			плотностей
Рис. 1.14. Распределение плотностей то-				токов	электронов		и	дырок
ков электронов	и дырок	в области	силь-	в области сильного поля					по-
ного поля р—гс+-перехода		при лавинном		казано на рис. 1.14.				Макси-
	пробое			мальная скорость			нарастания
плотностей	тока	соответствует		максимуму		напряженности
электрического поля в р—п+-переходе					(я « W)\		электроны

движутся в электрическом поле слева направо, а дырки — справа налево.

Введем понятие коэффициента умножения М, который определим как отношение тока носителей на выходе области сильного поля к току носителей на входе этой области. Для

рассматриваемого		нами	случая	умножения	электронов М„ =
= Jn{W)/Jn{0).	С	учетом того,		что при х	-	W выполняется
условие Jn[W)	— J у из уравнения			(1.73) следует		уравнение
			w
			1			(1.74)
		1	- М п

Аналогичное выражение для коэффициента	умножения дырок
Мр может быть получено для случая, когда	в обратном токе
р-п-перехода преобладает ток дырок.
Поскольку возникновению пробоя соответствует бесконечно

сильное возрастание тока электронов при прохождении ими об-

ласти сильного поля (Мп		—> оо), из	уравнения (1.74)	следует,
что условием пробоя является достижение интегралом					в пра-
вой части (1.74)	значения	единицы.	Зная зависимость		ап {£)
и распределение	электрического поля		в р-п-переходе,	нетрудно
найти напряжение Упроь, при котором			будет возникать	лавинный

') Впервые это уравнение было выведено МакКеем [20], который использовал его для анализа самых первых данных по исследованию ударной ионизации

в	кремнии.	Формулы для коэффициентов умножения электронов и дырок
в	случае а п	ф а р можно найти в работе [19].

1.3. Явление пробоя	р-п-перехода			51
пробой, и рассчитать величину	коэффициента	умножения		в
предпробойной области. Например, аппроксимируя			зависимость
а п ( £ ) степенной функцией (а„(£) ~ £•") и вычисляя			интеграл	в
правой части уравнения (1.74) для распределения		электрического
поля в резком р-п-переходе ( £ ( х ) =	£m ax(l - x/W))		с учетом ра-

нее полученных выражений для £ т а х и W, приходим к формуле

m - ^ - i , (1.75)

которая часто используется для аппроксимации зависимости коэффициента умножения от напряжения обратного смещения. Экспериментально найденные значения m составляют 4,7-6,6 для электронов и 3-3,4 для дырок в Ge [19] и 1,4-2 для электронов и 3,4-4 для дырок в Si |21]. Заметим, что отношение ап /схр может быть как больше единицы (Si), так и меньше единицы (Ge).

Важно иметь в виду, что для возникновения лавинного про-

боя необходимо, чтобы лавина успевала развиваться, а для

этого нужно, чтобы область сильного поля была достаточно протяженной (во всяком случае, намного больше, чем длина свободного пробега). Именно поэтому очень тонкие пленки оказываются электрически более прочными, чем объемные материалы. Из-за того, что с ростом концентрации примеси верхняя граница интегрирования в (1.74) уменьшается, для пробоя р-п-пере- хода требуются все более сильные электрические поля, и поэтому наблюдаемая зависимость У п р о б № ) (рис. 1,10) оказывается более слабой по сравнению с предсказаниями упрощенной теории (1.67).

Методы определения коэффициентов ударной ионизации.

Определение коэффициентов ударной ионизации основано на обработке полученных в эксперименте зависимостей коэффициента умножения М в р-п-переходе от напряжения обратного смещения [20].

В основе этого метода лежит то, что коэффициент ударной ионизации а является функцией только напряженности электрического поля. Поскольку распределение электрического поля в р - n-переходе обычно имеет вид функции с максимумом, в формуле (1.74), полученной в предположении а п = а р , можно сделать