Обратная матрица

Задача №6. Найти матрицу, обратную к матрице.

Решение.

1) Найдем

, следовательно обратная матрица существует.

2) Найдем алгебраические дополнения к элементам матрицы А

3) Запишем союзную матрицу

4) Найдем обратную матрицу

5) Сделаем проверку

Задача №7. Найти матрицу, обратную к матрице.

Решение.

1) Найдем

, следовательно обратная матрица существует.

2) Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы А

3) Запишем союзную матрицу

4) Найдем обратную матрицу

5) Сделаем проверку

Задача №8. Найти матрицу, обратную к матрице.

Решение.

1) Найдем

, следовательно обратная матрица существует.

2) Найдем алгебраические дополнения к элементам матрицы А

3) Запишем союзную матрицу

4) Найдем обратную матрицу

5) Сделаем проверку

Задача №9. С помощью элементарных преобразований строк найти матрицу, обратную.

Решение.

Припишем к матрице справа единичную матрицу и будем выполнять элементарные преобразования строк объединенной матрицы до тех пор

Задача №10. Найти ранг матрицы

Решение.

Ранг матрицы равен 3.

_{Задачи для самостоятельного решения:}

а) по правилу треугольника;

б) с помощью разложения по первой строке;

в) преобразованием, используя свойства определителей.

2. Найти минор и алгебраическое дополнение элемента a₁₃ определителяи вычислить его разложением по элементам строки или столбца.

3. Решить уравнение

4. Вычислить определитель 4-го порядка разложением по элементам строки или столбца:

5. Найти обратную матрицу для следующих матриц:

1. ; 2); 3); 4).

6. Решить матричные уравнения:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7);

8).

7. Доказать, что если А – квадратная матрица и (А+Е)²=О, то матрица А имеет обратную. Найти обратную для А матрицу.

8. Найти все матрицы второго порядка, для которых А^-1=А.

Занятие 3. Решение систем линейных уравнений методом Крамера и методом обратной матрицы.

Для усвоения практического материала нужно ответить на следующие теоретические вопросы:

1. Понятие системы линейных алгебраических уравнений.

2. Понятие решения системы линейных алгебраических уравнений.

3. Определение совместной и несовместной системы.

4. Достаточное условие совместной системы.

5. Определение однородной и неоднородной системы.

6. Формулы Крамера.

7. Алгоритм решения систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы.

Типовые примеры Решение систем линейных уравнений методом Крамера

Задача №1. Решить систему:

Решение.

Определитель системы:

поэтому ее решение определяется по формулам Крамера:

Но

,

Тогда

Задача №2. Решить систему:

Решение.

Определитель данной системы но определительчто говорит о несовместности системы. Геометрически это означает, что данные прямые не пересекаются, т.е. параллельны.

Задача №3. Решить систему:

Решение.

Определители , так как у них строки пропорциональны. Здесь оба уравнения системы определяют одну и ту же прямую и решением системы являются координаты любой точки этой прямой. Отсюда следует, что система имеет бесчисленное множество решений.

Задача №4. Решить систему

Решение.

Вычисляем определители:

Так как , то данная система имеет единственное решение. Находим его по формулам Крамера: