- •Типовые примеры Действия над матрицами
- •Типовые примеры Вычисление определителей
- •Обратная матрица
- •Типовые примеры Решение систем линейных уравнений методом Крамера
- •Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы
- •Типовые задачи
- •Задачи для самостоятельного решения:
- •Типовые задачи
- •Типовые задачи
- •1. Уравнение прямой на плоскости.
- •Задачи для самостоятельного решения:
- •Типовые задачи
- •Задачи для самостоятельного решения:
- •Типовые задачи
- •1. Множества и операции над ними.
- •2. Декартово произведение.
- •Задачи для самостоятельного решения:
- •Типовые задачи
- •Задания для самостоятельного решения:
- •Типовые задачи
- •Задачи для самостоятельного решения:
- •Типовые задачи
- •Нахождение пределов с использованием свойств эквивалентных бесконечно малых функций
- •Задачи для самостоятельного решения:
- •Типовые задачи
- •Задачи для самостоятельного решения:
- •Типовые задачи
- •Нахождение производных с помощью таблицы производных
- •Задачи для самостоятельного решения:
- •1.Нахождение производных сложных функций, заданных явно
- •2. Дифференциал функции одной переменной
- •3. Производные и дифференциалы высших порядков
- •Задачи для самостоятельного решения:
- •Типовые задачи
- •Задачи для самостоятельного решения:
- •Типовые задачи
- •Задачи для самостоятельного решения:
Нахождение пределов с использованием свойств эквивалентных бесконечно малых функций
Задача №4. Применить свойства эквивалентных величин к нахождению пределов:
1)
2)
3)
4)
5) так как (по теореме о сумме конеч-
ного числа бесконечно малых) .
6) .
7)
Задачи для самостоятельного решения:
Найти пределы:
1);
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) .
Сравнить порядок функций:
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) .
Занятие 12. Непрерывность и точки разрыва функции.
Для усвоения практического материала нужно ответить на следующие теоретические вопросы:
Определение непрерывности функции в точке.
Действия над непрерывными функциями.
Односторонние пределы и односторонняя непрерывность.
Непрерывность основных элементарных функций.
Точки разрыва функций и их классификация.
Свойства функций непрерывных на отрезке.
Типовые задачи
Задача 1. Используя лишь определение, доказать непрерывность функции
.
Решение.
Задача 2. Используя лишь определение, доказать непрерывность функции
.
Решение.
Задача 3. Найти .
Решение.
Так как
(в силу непрерывности логарифмической функции).
Частный случай: .
Задача 4. Найти .
Решение.
Пусть , тогдаи при(так как показательная функция непрерывна).
Тогда
Частный случай: если , то.
Задача 5. Исследовать на непрерывность, найти точки разрыва, указать характер разрыва, в случае устранимого разрыва доопределить до непрерывной функцию
.
Решение.
непрерывна на .
(точка устранимого разрыва.
Если , то функциябудет непрерывной в точке.
Задача 6. Показать, что для функции точкаявляется точкой разрыва первого рода.
Решение.
По определению модуля числа , когдаили.
, когда или.
Так как , то точка– точка разрыва 1 рода. Конечный скачок функции.
Данную функцию нельзя доопределить так, чтобы она была непрерывной в точке .
Задача 7. Исследовать на непрерывность функцию
Решение.
()точка разрыва 2 рода.
В точке функция меняет аналитическое выражение.
()конечный разрыв 1 рода.
Скачок функции .
Задачи для самостоятельного решения:
1. Исследовать на непрерывность и изобразить графически функции:
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5)
6)
2. Задана функция . При каком выборе параметров, входящих в определение,будет непрерывной?
1)
2)
Занятие 13. Нахождение производных функции одной переменной
Для усвоения практического материала нужно ответить на следующие теоретические вопросы:
Определение производной функции одной переменной.
Геометрический, экономический смысл производной.
Таблица основных производных.
Правила дифференцирования.
Типовые задачи
Нахождение производной функции по определению
Задача № 1.Для функциивычислитьи, соответствующие изменениям аргумента отдо.
Решение.
;
Задача № 2. Найти производные функций, пользуясь определением:
Решение.
Решение.
так как
Нахождение производных с помощью таблицы производных
Задача № 3. Найти производные функций:
Задача № 4. Найти угловой коэффициент секущей к параболе, если она проходит через точки с абсциссами.
Решение.
Задача № 5. Найти уравнение касательной и нормали к кривойв точке.
Решение.
Уравнение касательной к кривой в точке
.
Уравнение нормали к кривой в точке
.
или
– уравнение касательной,
– уравнение нормали.