- •Типовые примеры Действия над матрицами
- •Типовые примеры Вычисление определителей
- •Обратная матрица
- •Типовые примеры Решение систем линейных уравнений методом Крамера
- •Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы
- •Типовые задачи
- •Задачи для самостоятельного решения:
- •Типовые задачи
- •Типовые задачи
- •1. Уравнение прямой на плоскости.
- •Задачи для самостоятельного решения:
- •Типовые задачи
- •Задачи для самостоятельного решения:
- •Типовые задачи
- •1. Множества и операции над ними.
- •2. Декартово произведение.
- •Задачи для самостоятельного решения:
- •Типовые задачи
- •Задания для самостоятельного решения:
- •Типовые задачи
- •Задачи для самостоятельного решения:
- •Типовые задачи
- •Нахождение пределов с использованием свойств эквивалентных бесконечно малых функций
- •Задачи для самостоятельного решения:
- •Типовые задачи
- •Задачи для самостоятельного решения:
- •Типовые задачи
- •Нахождение производных с помощью таблицы производных
- •Задачи для самостоятельного решения:
- •1.Нахождение производных сложных функций, заданных явно
- •2. Дифференциал функции одной переменной
- •3. Производные и дифференциалы высших порядков
- •Задачи для самостоятельного решения:
- •Типовые задачи
- •Задачи для самостоятельного решения:
- •Типовые задачи
- •Задачи для самостоятельного решения:
Задачи для самостоятельного решения:
1. Построить прямые: а) б); в); г).
2. Дано общее уравнение прямой . Написать: а) уравнение с угловым коэффициентом; б) уравнение в отрезках на осях.
3. Какой угол образует с положительным направлением оси абсцисс прямая .
4. Прибыль от продажи 50 шт. некоторого товара составляет 250 руб., 100 шт. -1000 руб. Определить прибыль от продажи 500 шт. товара при условии, что функция прибыли линейна.
5. Даны точки А(0;0) и В(-3;0). На отрезке АВ построен параллелограмм, диагонали которого пересекаются в точке О(0;2). Написать уравнения сторон диагоналей параллелограмма.
6. Составить уравнения прямых, проходящих через точку М(4;-5) и параллельных осям координат.
7. Написать острый угол между прямыми: а) ; б); в); г).
8. Прибыль от продажи некоторого товара в двух магазинах выражается функциями и, гдеx– количество товаров в сотнях штук, аy– прибыль в тысячах рублей. Определить, начиная с какого количества товара более выгодной становится продажа во втором магазине.
9. Показать, что прямые ипараллельны, и найти расстояние между ними.
10. Найти длину высоты АDв треугольнике с вершинами А(5;2), В(2;3) и
С(0;-3).
Занятие №7. Плоскость.
Для усвоения практического материала нужно ответить на следующие теоретические вопросы:
Общее уравнение плоскости.
Уравнение плоскости по трем точкам.
Уравнение плоскости по точке и нормальному вектору.
Построение плоскостей и особенности их расположения.
Уравнение плоскости по трем точкам.
Взаимное расположение плоскостей. Расстояние от точки до плоскости.
Типовые задачи
Задача № 1. Указать особенности расположения плоскостей. Построить плоскости:
1)
2)
3)
4)
5)
Указания к решению:
установить, проходит ли плоскость через начало координат;
указать вектор нормали и сделать вывод, каким из координатных осей (плоскостей) возможно параллельна плоскость;
если плоскость не проходит через начало координат и не параллельна координатным осям, то она – «плоскость общего положения» и строится по трем точкам – её точка пересечения с координатными осями;
если плоскость параллельна какой-нибудь координатной плоскости, то она строится с помощью параллельного переноса.
Рассмотрим остальные случаи расположения плоскостей:
в) x + 2y – 4 = 0
Решение.
Плоскость не проходит через начало координат. Плоскость параллельна оси 0z. Её проекция на плоскость 0xy – прямая x+2y-4=0.Построим её. Плоскость получается движением прямой x+2y-4=0 параллельно оси 0z. Плоскость y + 3z = 0 строится аналогично. Она проходит через ось 0х.
Плоскость x - y - 2z = 0 проходит через начало координат. Она строится по двум прямым, полученным её пересечением с координатными плоскостями: и .
Задача № 2. Составить уравнение плоскости, проходящей:
1)через точку С(3,4,-5) параллельно векторам и
2) параллельно оси 0х через и
3) через ось 0z и А(-3,1,-2).
Задача № 3. Построить плоскости, заданные уравнениями:
1) х + z - 1 = 0; 2) Зх + 4у + 6z - 12 = 0.
Решение.
1) Плоскость х + z - 1 = 0 параллельна оси 0у; она пересекает плоскость 0xz по прямой х + z = 1, отсекая на осях 0х и 0z отрезки, равные 1 (рис. 1).
2) Общее уравнение плоскости Зх + 4у + 6z — 12 = 0 перепишем в виде:
Зx + 4у + 6z = 12, т. е. Эта плоскость отсекает на осях Оx, Оу, Oz отрезки, равные 4, 3, 2 соответственно (рис. 2).
Самостоятельная работа:
Вариант 1: - x + 2y – z = 0 и y + 3z – 1 = 0;
2x – y + z – 1 = 0 и - 4x + 2y – 2z – 1 = 0.
Вариант 2: x - y + 1 = 0 и y + 3z – 1 = 0;
2x – y + z – 1 = 0 и - 4x + 2y – 2z – 1 = 0.
Указание: найти нормальные векторы и исследовать их на компланарность. Если они не компланарны, найти угол между ними, если да – выбрать на одной из плоскостей точку и найти расстояние от точки до плоскости.