- •Типовые примеры Действия над матрицами
- •Типовые примеры Вычисление определителей
- •Обратная матрица
- •Типовые примеры Решение систем линейных уравнений методом Крамера
- •Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы
- •Типовые задачи
- •Задачи для самостоятельного решения:
- •Типовые задачи
- •Типовые задачи
- •1. Уравнение прямой на плоскости.
- •Задачи для самостоятельного решения:
- •Типовые задачи
- •Задачи для самостоятельного решения:
- •Типовые задачи
- •1. Множества и операции над ними.
- •2. Декартово произведение.
- •Задачи для самостоятельного решения:
- •Типовые задачи
- •Задания для самостоятельного решения:
- •Типовые задачи
- •Задачи для самостоятельного решения:
- •Типовые задачи
- •Нахождение пределов с использованием свойств эквивалентных бесконечно малых функций
- •Задачи для самостоятельного решения:
- •Типовые задачи
- •Задачи для самостоятельного решения:
- •Типовые задачи
- •Нахождение производных с помощью таблицы производных
- •Задачи для самостоятельного решения:
- •1.Нахождение производных сложных функций, заданных явно
- •2. Дифференциал функции одной переменной
- •3. Производные и дифференциалы высших порядков
- •Задачи для самостоятельного решения:
- •Типовые задачи
- •Задачи для самостоятельного решения:
- •Типовые задачи
- •Задачи для самостоятельного решения:
Типовые задачи
Задача №1. Найти область определения функции
.
Решение.
Ответ: .
Задача № 2. Найти область определения функции
.
Решение.
Ответ: .
Задача № 3. Найти множество значений функции
.
Ответ: ,, если
Задача № 4. Представить сложные функции в виде суперпозиции функций, являющихся основными элементарными функциями.
а)
–промежуточные аргументы.
б)
–промежуточные аргументы.
Дополнительные примеры
в)
г)
Задача № 5. Построить графики функций:
а)
б)
в)
Решение.
а)
Параллельный перенос вдоль оси абсцисс.
б)
в)
Равномерное осевое растяжение в 3 раза графика
Задача № 6. Для функции найти обратную. Построить графики данной и найденной функций.
Решение.
Обратная функция
Задания для самостоятельного решения:
1. Найти области определения функций, заданных формулами:
;
;
;
;
;
;
;
Найти множество значений функции:
;
;
;
;
;
;
.
Построить графики функции:
;
;
;
;
;
;
;
;
;
4. Представить сложные функции в виде суперпозиции функций, являющихся основными элементарными функциями:
1) ;
2) .
Занятие 10. Предел числовой последовательности и функции.
Для усвоения практического материала нужно ответить на следующие теоретические вопросы:
Определение предела функции при .
Определение предела функции при .
Односторонние пределы.
Определение предела числовой последовательности.
Свойства бесконечно малых величин.
Связь между бесконечно малыми величинами и пределами.
Связь бесконечно малых и бесконечно больших величин.
Теорема о пределе суммы.
Основные теоремы о пределах.
Типовые задачи
Задача №1. Найти .
Решение.
;
Задача №2. Найти и.
Решение.
; ;
;
Задача №3. Найти .
Решение.
; ;
Задача №4. Найти .
Решение.
;
Задача №5. Найти .
Решение.
, так как степень многочлена, стоящего в
знаменателе больше степени многочлена числителя.
Задача №6. Найти пределы:
а)
б)
в) .
Задача №7. Найти .
Решение.
Задача №8. Найти .
Решение.
Имеем неопределенность . Так какявляется корнем числителя
и знаменателя, многочлены иделятся без
остатка на . Тогда
Задача №9. Найти .
Решение.
.
Задача №10. Найти .
Ответ: 2.
Задачи для самостоятельного решения:
1. Найти пределы:
; ;.
; ;.
; ;.
Занятие 11. Вычисление пределов функций.
Для усвоения практического материала нужно ответить на следующие теоретические вопросы:
Бесконечно малые функции и их свойства.
Бесконечно большие функции и их свойства.
Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями.
Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые.
Теорема об эквивалентных бесконечно малых.
Теорема о сумме конечного числа бесконечно малых.
Типовые задачи
Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций
Задача №1. Сравнить бесконечно малые величины с величинойх
при .
Решение.
; значит, 10х и х – бесконечно малые одного порядка
–бесконечно малая высшего порядка
–бесконечно малая низшего порядка
–
Задача №2. Определить порядок малости относительно х при :
а) ; б)
Решение.
; ; при
;
при
Задача №3. Доказать, что при бесконечно малые функциии
Эквивалентны.
Решение.
; значит при.