37) Свойства криволинейного интеграла второго рода.

1. Если функция P(x,y) интегрируема вдоль кривой L=AB по координате x, то и функция C*P(x,y), где C=const, также интегрируема вдоль L=AB, причем .

2. Если функции P₁(x,y), P₂(x,y) интегрируемы вдоль кривой L=AB, то и функция также интегрируема вдоль этой кривой, причем .

3. Если кривая L=AB разбита на конечное число дуг L₁,L₂,…,L_k (Не имеющих попарно общих внутренних точек) и функция P(x,y) интегрируема вдоль каждой из этих дуг, то функция P(x,y) интегрируема вдоль кривой L=AB, и при этом .

4. Если существует криволинейный интеграл , то существует и криволинейный интеграл , причем справедливо равенство (1), т.е. если изменить направление кривой L=AB, то интеграл меняет свой знак.

38) Вычисление криволинейного интеграла второго рода

Рассмотри на пл-ти OXY некоторую спрямляемую кривую L=AB, не имеющую точек самопересечения и участков самоналегания (простую). Пусть эта кривая задана параметрически уравнениями вида , причем A( , ) B( , ), и при изменении параметра t от α до β переменная точка M(x,y) описывает кривую L в направлении от A к B.

Т. Если функции P(x,y); Q(x,y) непрерывны в каждой своей точке простой гладкой кривой L=AB, то существуют криволинейные интегралы ; и справедливы следующие формулы, сводящие криволинейные интегралы к обычным определенным интегралам: , .(1)

Зам. Если кривая L=AB задана явным уравнением y=g(x), где , причем g(x) имеет непрерывную производную на [a,b] и A(a,h(a)); B(b,g(b)), то имеют место формулы: , . Они получаются с учетом того, что в рассматриваемом случае кривую L=AB можно параметризировать так: . Аналогично для случая, если L=AB задана x=f(y), где .

Зам. Формулы (1) справедливы и в случае, если L=AB является кусочно-гладкой, т.е. когда L непрерывна и представляет собой объединение конечного числа гладких дуг, не имеющих общих внутренних точек. Действительно, пусть – кусочно-гладкая кривая, состоящая из m гладких звеньев L₁,…L_m. На основании свойства 3 криволинейных интегралов, получим .

3 9) Криволинейный интеграл второго рода. Формула Грина.

Пусть L- простой замкнутый кусочно-гладкий контур на ХОУ. Криволинейный интеграл второго рода для замкнутого контура определяется так же как и для разомкнутого. Отличие только в том, что начало и конец совпадают. Кроме того, в случае замкнутого контура, нужно еще определить понятие положительного направления.

Определение: Положительным направлением на замкнутом контуре L будем называть то, при котором конечная часть плоскости, ограниченная этим контуром, остается слева от наблюдателя при обходе этого контура. Направление, противоположное положительному, называется отрицательным. Другими словами, положительное направление на замкнутом контуре это направление против часовой стрелки.

Определение: Область D называется правильной, относительно координатных осей, если любая прямая, проходящая через точку M(x,y) принадлежащую D и параллельной оси ОХ или параллельной оси ОУ, пересекает границу этой области не более чем в двух точках. Пусть L – замкнутый кусочно-гладкий контур. Оказывается, криволинейный интеграл по замкнутому контуру тесно связан с двойным интегралом, а именно справедлива следующая теорема.

Теорема (Формула Грина): Пусть D – односвязная правильная, относительно координатных осей, область, ограниченная кусочно-гладким контуром L. Тогда, если функции P(x,y) и Q(x,y) непрерывны вместе со своими частными производными в замкнутой области =D U L, то справедлива формула ; (1) Доказательство этой теоремы состоит в непосредственном вычислении двойного интеграла в правой части формулы (1).

Замечание: На самом деле формула Грина верна и для любой области G, которую можно представить как объединение конечного числа правильных областей. Более того, область G может быть и многосвязной. Геометрическое приложение формулы Грина. Если положить, что P(x,y)≡-y,а Q(x,y)≡x, тогда Получили (*) – формула для нахождения площадей плоских областей с помощью криволинейного интеграла второго рода.