- •1) Евкл пр-во. Откр и замкнутые мн-ва в r2.
- •2) Понятие непрер кривой и области в r2
- •3) Предел послед точек в r2.
- •4) Определение ф-и от неск пер. График ф-и 2х пер.
- •5) Предел ф-и неск пер. Осн теоремы о пределах.
- •6) Непрер ф-и неск пер. Точки разрыва.
- •7) Непрер. Сложной ф-и.
- •8) Основные св-ва непрерывных ф-й
- •9) Равномерная непрер-ть функций 2х переменных
- •10) Частные производные ф-й нескольких переменных
- •11) Дифференцируемость функций нескольких переменных. Понятие дифференциала.
- •12) Необходимые условия дифференцируемости функции двух переменных
- •13) Достаточные условия дифференцируемости функции двух переменных
- •14) Дифференцируемость сложных функций нескольких переменных
- •15) Инвариантность формы дифференциала первого порядка.
- •16) Частные производные высших порядков.
- •17) Дифференциалы высших порядков.
- •18) Формула Тейлора.
- •19) Неявные функции. Дифференцируемость неявных функций.
- •20) Экстремумы функций двух переменных. Необходимое условие экстремума.
- •22) Достаточные условия экстремума для функции 2 переменных.
- •23) Наиб. И наим значение ф-ции 2-х перем. В замкнутой и огр. Обл.
- •26) Определение двойного интеграла. Условия существования двойного интеграла.
- •27) Основные свойства двойного интеграла
- •28)Понятие повторного интеграла для X-правильных областей.
- •29) Понятие повторного интеграла для y-правильных областей.
- •30) Способы вычисления двойного интеграла.
- •31) Замена переменной в двойном интеграле.
- •32) Двойной интеграл в полярных координат
- •36) Определение криволинейного интеграла по координатам (второго рода)
- •37) Свойства криволинейного интеграла второго рода.
- •38) Вычисление криволинейного интеграла второго рода
- •3 9) Криволинейный интеграл второго рода. Формула Грина.
- •40) Условия независимости криволинейного интеграла от путей интегрирования.
- •41) Условия полного дифференциала. Восстановление функции по ее полному дифференциалу.
- •42) Восстановление функции по ее полному дифференциалу
- •44) Криволинейные интегралы по длине дуги(первого рода).
4) Определение ф-и от неск пер. График ф-и 2х пер.
Опр. Пусть n>0-фиксир∈N. Пусть D-непустое мн-во точек Rn. Если каждой т М(x1,x2,…,xn)∈D по нек правилу f ставится в соотв-е действит число u, то говорят что на мн-ве D задана ф-я n пер. х1,x2,…,xn, вида u=f(M) или u=f(х1,x2,…,xn) или f:DàR. При этом множ D наз областью определения ф-и f, обозн D(f). Пусть точке М0(x10,x20,…,xn0) cоотвàчисло u=f(x10,x20,…,xn0) др словами f(M0)=u0. Тогда число f(M0) наз частным знач f в т М0. Множ всех частных значений ф-и f наз областью значений, обозн Е(f). Т.о любая ф-я n пер. явл отображением f:RnàR, т.е D(f)⊂Rn, т.е отобр Rn в R.
Замеч. Точно так же как ф-ю одной пер, ф-ю многих пер можно задавать различными способами: аналитически, словестно, таблицей, графически(от 1,2), компьютерным.
Замеч. Задать ф-ю f, это означ 1) задать обл опр этой ф-и D(f) и 2) указать правило f по кот VM∈D опред f(M).
Оказывается ф-ю 2х пер, вида z=f(x,y) можно ещё изобразить графически. Пусть дана ф-я двух пер, D=D(f), графиком этой ф-и Г наз множ {P(x,y,z)∈R3|z=f(x,y), ∀(x,y)∈D}. Для этого нужно построить систему ОХУZ. Как правило графиком ф-и двух пер z=f(x,y) явл нек пов-ть в нек пр-ве R3
5) Предел ф-и неск пер. Осн теоремы о пределах.
Пусть задана ф-я z=f(x,y) или z=f(M) на нек мн-ве D=D(f), D⊂R2 и пусть М0(х0, у0)-предельная т множ D.
Опр. (на языке ℰ,δ) Число b наз пределом ф-и f(M) в точке М0, если ∀ℰ>0 ∃δ>0, что VM∈D и удовл усл: 0<ρ(M0, M)<δ=>|f(M)-b|<ℰ. Обозн =b или =b
Опр. (на яз послед) Число b наз пределом ф-и z=f(M) в т М0, если ∀ послед-ти точек {Mn}àM0, Mn≠M0 соотв послед значений ф-и {f(M)} сх-ся к b. Так же как для ф-и одной пер эти 2 опр равносильны.
Утв. Из опред предела ф-и на яз послед вытекает что если для 2х различ послед точек {Mn’}àM0 и {Mn”}àM0 послед-ть знач ф-и {f(Mn’)}àA, a {f(Mn”)}àB; A≠B, то не сущ.
Опр. Число d наз пределом ф-и f(M) при Мà∞ если ∀ℰ>0 ∃r>0, что ∀M(x,y)∈D и ρ(0,M)>rà|f(M)-d|<ℰ. Обозн =d, или =d
Для ф-и неск пер сохр все известные т. о пределах для ф-и одной пер, а именно:
Т1. Если =А и =В, то справедливы след соотнош: 1) =C*A, где С=const.
2) ]=A±B
3) *g(M)]=A*B
4) = , если B≠0
6) Непрер ф-и неск пер. Точки разрыва.
Пусть задана ф-я z=f(M) или z=f(x,y) на D⊂R2 и пусть М0(х0, у0)-предельная т мн-ва D, причём М0∈D.
Опр. Ф-я z=f(M) наз непрерывной в т М0 если: 1)∃ 2) =f(M0).
Опр. (на яз ℰ,δ) Ф-я z=f(M) наз непрерывной в т М0 если ∀ℰ>0 ∃δ>0, что ∀M∈D и удовл усл ρ(М,М0)<δà|f(M)-f(M0)|<ℰ.
Опр. Предельная т М1 мн-ва D(f) наз. Точкой разрыва ф-и f, если в этой т. М1 ф-я f(M) не явл непрер.
Опр. Приращением или полным приращением ф-и f(M) в т. М0(х0, у0) наз. разность Δf(M)=f(M)-f(M0), ∀M∈D(f) или разность Δz=f(x,y)-f(x0, y0) или Δz=f(x0+Δx, y0+Δy)-f(x0, y0), где Δx=x-x0, Δy=y-y0.
Замеч. Заметим, что приращение ф-и Δf или Δz сама явл. ф-ей М. если f(x,y)(двух), то Δf х и у (двух).
Опр. Ф-я z=f(M) наз. непрер. в т. М0, если =0 ó[это опр. равносильно данному ранее]ó -f(M0)]=0ó =f(M0)
Опр. Пусть задана ф-я z=f(M) или z=f(x,y) в нек обл-ти D⊂R2. Пусть М0-фиксир. т. из D, а М(x,y)-произв. т. D. Частным приращением ф-и f(x,y) в т. М0(х0,у0) по х наз. разность Δxz=f(x0+Δx, y0)-f(x0, y0), где Δx=x-x0. Аналогично: част приращ. по у в т. М0(x0, y0): Δyz=f(x0, y0+Δy)-f(x0, y0), где Δy=y-y0.
Опр. Ф-я z=f(x,y) наз. непрер. в т М0 по переменной х, если xz(М0)=0.
Опр. Ф-я z=f(x,y) наз. непрер в т М0 по переменной у, если yz(М0)=0.
Т. Если ф-я z=f(x,y) непрер в т М0, то она непрер в этой т по х и по у. (Док. самост.(в книге нет!))
Замеч. Утв. Обратное этой Т. вообще говоря не верно.
Опр. Всякая ф-я Р(х,у)=φ0(х)+φ1(х)у+…+φn(x)yn, n∈N, φk(x)-многочлен от х, наз. многочленом 2х переменных х,у.
Т. Всякий многочлен Р(х,у) непрер. в каждой т R2.