- •1) Евкл пр-во. Откр и замкнутые мн-ва в r2.
- •2) Понятие непрер кривой и области в r2
- •3) Предел послед точек в r2.
- •4) Определение ф-и от неск пер. График ф-и 2х пер.
- •5) Предел ф-и неск пер. Осн теоремы о пределах.
- •6) Непрер ф-и неск пер. Точки разрыва.
- •7) Непрер. Сложной ф-и.
- •8) Основные св-ва непрерывных ф-й
- •9) Равномерная непрер-ть функций 2х переменных
- •10) Частные производные ф-й нескольких переменных
- •11) Дифференцируемость функций нескольких переменных. Понятие дифференциала.
- •12) Необходимые условия дифференцируемости функции двух переменных
- •13) Достаточные условия дифференцируемости функции двух переменных
- •14) Дифференцируемость сложных функций нескольких переменных
- •15) Инвариантность формы дифференциала первого порядка.
- •16) Частные производные высших порядков.
- •17) Дифференциалы высших порядков.
- •18) Формула Тейлора.
- •19) Неявные функции. Дифференцируемость неявных функций.
- •20) Экстремумы функций двух переменных. Необходимое условие экстремума.
- •22) Достаточные условия экстремума для функции 2 переменных.
- •23) Наиб. И наим значение ф-ции 2-х перем. В замкнутой и огр. Обл.
- •26) Определение двойного интеграла. Условия существования двойного интеграла.
- •27) Основные свойства двойного интеграла
- •28)Понятие повторного интеграла для X-правильных областей.
- •29) Понятие повторного интеграла для y-правильных областей.
- •30) Способы вычисления двойного интеграла.
- •31) Замена переменной в двойном интеграле.
- •32) Двойной интеграл в полярных координат
- •36) Определение криволинейного интеграла по координатам (второго рода)
- •37) Свойства криволинейного интеграла второго рода.
- •38) Вычисление криволинейного интеграла второго рода
- •3 9) Криволинейный интеграл второго рода. Формула Грина.
- •40) Условия независимости криволинейного интеграла от путей интегрирования.
- •41) Условия полного дифференциала. Восстановление функции по ее полному дифференциалу.
- •42) Восстановление функции по ее полному дифференциалу
- •44) Криволинейные интегралы по длине дуги(первого рода).
27) Основные свойства двойного интеграла
1. (Аддитивность) Если функция f(x,y) интегрируема в области D и если область D при помощи кривой Г площади нуль разбивается на две области D1 и D2, не имеющих общих внутренних точек, то функция f(x,y) интегрируема в каждой из этих областей, причем справедливо равенство
2. (Линейное свойство) Если функции f(x,y);g(x,y) интегрируемы в D, а α и β – любые действительные числа, то функция [α*f(x,y)+β*g(x,y)] также интегрируема в области D, причем
3. Если f(x,y) и g(x,y) интегрируемы в области D и всюду в этой области , то
4. Если f(x,y) интегрируема в области D, то и функция интегрируема в D, причем
Зам. Важно отметить, что из интегрируемости в области D, вообще говоря, не следует интегрируемость f(x,y).
5. (Теорема о среднем значении) Если функция f(x,y) непрерывна в замкнутой ограниченной квадрируемой области D, то в этой области D найдется такая точка , что , где S – площадь области D.
28)Понятие повторного интеграла для X-правильных областей.
На плоскости рассмотрим замкнутую обл-ть , огранич-ую 2-мя прямыми: , и 2-ми кривыми: , , где , − непрерывные на функции, причем для всех .
d
c
Для такой обл-ти выполняются условия: она замкнута, ограничена и такова, что прямая, параллельная и проходящая через любую внутренную точку , пересекает границу этой обл-ти не более чем в 2-х точках. Такая обл-ть назыв-ся областью типа II (второго типа) или x-правильной.
Пусть фун-я непрерывная в замкнутой обл-ти типа II. Тогда при каждом фиксированном значении сущ-т интеграл (здесь ). Функция непрерывна на , если функция непрерывна в обл-ти и фун-ии , непрерывны на .
Интегрируя фун-ю на , получим некоторое постоянное число : (1). Выражение в правой части (1) называется повторным (двукратным) интегралом от функции по области типа II.
Для вычисления (1) сначала вычисляется внутренний интеграл , полагая при этом постоянной. Затем вычисляется интеграл .
29) Понятие повторного интеграла для y-правильных областей.
На плоскости рассмотрим замкнутую обл-ть , огранич-ую 2-мя прямыми: , и 2-ми кривыми: , , где , − непрерывные на функции, причем для всех .
Для такой обл-ти выполняются условия: она замкнута, ограничена и такова, что прямая, параллельная и проходящая через любую внутренную точку , пересекает границу этой обл-ти не более чем в 2-х точках. Такая обл-ть назыв-ся областью типа I (первого типа) или y-правильной.
Пусть фун-я непрерывная в замкнутой обл-ти типа I. Тогда при каждом фиксированном значении сущ-т интеграл (здесь ). Функция непрерывна на , если функция непрерывна в обл-ти и фун-ии , непрерывны на .
Интегрируя фун-ю на , получим некоторое постоянное число : (1). Выражение в правой части (1) называется повторным (двукратным) интегралом от функции по области типа I.
Для вычисления (1) сначала вычисляется внутренний интеграл , полагая при этом постоянной. Затем вычисляется интеграл .