- •1) Евкл пр-во. Откр и замкнутые мн-ва в r2.
- •2) Понятие непрер кривой и области в r2
- •3) Предел послед точек в r2.
- •4) Определение ф-и от неск пер. График ф-и 2х пер.
- •5) Предел ф-и неск пер. Осн теоремы о пределах.
- •6) Непрер ф-и неск пер. Точки разрыва.
- •7) Непрер. Сложной ф-и.
- •8) Основные св-ва непрерывных ф-й
- •9) Равномерная непрер-ть функций 2х переменных
- •10) Частные производные ф-й нескольких переменных
- •11) Дифференцируемость функций нескольких переменных. Понятие дифференциала.
- •12) Необходимые условия дифференцируемости функции двух переменных
- •13) Достаточные условия дифференцируемости функции двух переменных
- •14) Дифференцируемость сложных функций нескольких переменных
- •15) Инвариантность формы дифференциала первого порядка.
- •16) Частные производные высших порядков.
- •17) Дифференциалы высших порядков.
- •18) Формула Тейлора.
- •19) Неявные функции. Дифференцируемость неявных функций.
- •20) Экстремумы функций двух переменных. Необходимое условие экстремума.
- •22) Достаточные условия экстремума для функции 2 переменных.
- •23) Наиб. И наим значение ф-ции 2-х перем. В замкнутой и огр. Обл.
- •26) Определение двойного интеграла. Условия существования двойного интеграла.
- •27) Основные свойства двойного интеграла
- •28)Понятие повторного интеграла для X-правильных областей.
- •29) Понятие повторного интеграла для y-правильных областей.
- •30) Способы вычисления двойного интеграла.
- •31) Замена переменной в двойном интеграле.
- •32) Двойной интеграл в полярных координат
- •36) Определение криволинейного интеграла по координатам (второго рода)
- •37) Свойства криволинейного интеграла второго рода.
- •38) Вычисление криволинейного интеграла второго рода
- •3 9) Криволинейный интеграл второго рода. Формула Грина.
- •40) Условия независимости криволинейного интеграла от путей интегрирования.
- •41) Условия полного дифференциала. Восстановление функции по ее полному дифференциалу.
- •42) Восстановление функции по ее полному дифференциалу
- •44) Криволинейные интегралы по длине дуги(первого рода).
17) Дифференциалы высших порядков.
Напомним, что если функция Z=f(x,y)диффер. в области D, то дифференциал первого порядка этой ф-ии в некоторой точке M(x,y)E D представляется в виде , где dx= x , dy = y – произвольные приращения независимых переменных x и y. Если зафиксировать приращения x и y то дифференциал dZ будет функцией переменных x и y в области D.Следовательно можно рассмотреть понятие дифференциала от ф-ии dZ.
Опр. Дифференциал от дифференциала первого порядка dZ ф-ии Z=f(x,y) в точке M(x,y), соответсвующего приращения x, y называется дифференциалом второго порядка ф-ии Z=f(x,y) в этой точке и обозначается символом т.е. =d(dZ).Теперь пользуясь правилами дифференцирования и учитывая, что приращения dx= dy = здесь постоянные величины, найдём выражение для считая что dZ – дифференцируемая ф-я в т.M(x,y). = + = .Итак , .
Опр. Дифференциал от дифференциала (n-1)-го порядка ф-ии Z=f(x,y) в т.M(x,y) называется дифференциалом n-го порядка ф-ии Z=f(x,y) в этой точкеи обозначается символом .Таким образом .
Если ф-я Z=f(x,y) n раз дифференцируема в данной т. то с помощью метода мат. индукции можно показать что в этой точке можно выразить символической формулой: Отсюда применив формулу бинома Ньютона получаем формулу для вычисления : :
18) Формула Тейлора.
Т. Пусть ф-я Z=f(x,y) определена в некоторой окрестности K( ) точки и n+1 дифференцируема в этой окрестности. Тогда полное приращение =f(M) – f( этой ф-ии в т. для любой точки может быть представлена в виде (1): где а – некоторая точка из данной окрестности т.
19) Неявные функции. Дифференцируемость неявных функций.
Опр1 Если каждому значению переменной x из некоторого множества D ставится в соответствие определенное число y так, что упорядоченная пара (x,y) удовлетворяет уравнению вида , то говорят, что y является неявной функцией переменной x , заданной на множестве D посредством функционального уравнения .
Т1 Пусть относительно функции выполняются следующие условия:
определена и непрерывна вместе со своими частными производными и в некоторой -окрестности точки .
В точки имеет место равенство .
.
Тогда уравнение определяет единственную дифференцируемую в некоторой -окрестности точки неявную функцию , причем производная этой неявной функции вычисляется по формуле: .
Опр2 Если каждой паре из некоторого множества G ставится в соответствие единственное число z так, что упорядоченная тройка удовлетворяет функциональному уравнению , то говорят, что на G задана неявно функция вида посредством функционального уравнения .
Т2 Пусть относительно функции выполняются следующие условия:
определена и непрерывна вместе со своими частными производными в некоторой - окрестности точки
Тогда уравнение определяет единственную дифференцируемую в некоторой окрестности точки неявную функцию вида , которая удовлетворяет равенству , причем частные производные функции , в указанной окрестности определяются по формулам: