- •1) Евкл пр-во. Откр и замкнутые мн-ва в r2.
- •2) Понятие непрер кривой и области в r2
- •3) Предел послед точек в r2.
- •4) Определение ф-и от неск пер. График ф-и 2х пер.
- •5) Предел ф-и неск пер. Осн теоремы о пределах.
- •6) Непрер ф-и неск пер. Точки разрыва.
- •7) Непрер. Сложной ф-и.
- •8) Основные св-ва непрерывных ф-й
- •9) Равномерная непрер-ть функций 2х переменных
- •10) Частные производные ф-й нескольких переменных
- •11) Дифференцируемость функций нескольких переменных. Понятие дифференциала.
- •12) Необходимые условия дифференцируемости функции двух переменных
- •13) Достаточные условия дифференцируемости функции двух переменных
- •14) Дифференцируемость сложных функций нескольких переменных
- •15) Инвариантность формы дифференциала первого порядка.
- •16) Частные производные высших порядков.
- •17) Дифференциалы высших порядков.
- •18) Формула Тейлора.
- •19) Неявные функции. Дифференцируемость неявных функций.
- •20) Экстремумы функций двух переменных. Необходимое условие экстремума.
- •22) Достаточные условия экстремума для функции 2 переменных.
- •23) Наиб. И наим значение ф-ции 2-х перем. В замкнутой и огр. Обл.
- •26) Определение двойного интеграла. Условия существования двойного интеграла.
- •27) Основные свойства двойного интеграла
- •28)Понятие повторного интеграла для X-правильных областей.
- •29) Понятие повторного интеграла для y-правильных областей.
- •30) Способы вычисления двойного интеграла.
- •31) Замена переменной в двойном интеграле.
- •32) Двойной интеграл в полярных координат
- •36) Определение криволинейного интеграла по координатам (второго рода)
- •37) Свойства криволинейного интеграла второго рода.
- •38) Вычисление криволинейного интеграла второго рода
- •3 9) Криволинейный интеграл второго рода. Формула Грина.
- •40) Условия независимости криволинейного интеграла от путей интегрирования.
- •41) Условия полного дифференциала. Восстановление функции по ее полному дифференциалу.
- •42) Восстановление функции по ее полному дифференциалу
- •44) Криволинейные интегралы по длине дуги(первого рода).
42) Восстановление функции по ее полному дифференциалу
Т еорема1: Пусть P(x,y) и Q(x,y) определены и непрерывны в некоторой односвязной области D вместе со своими производными и . Тогда, для того чтобы выражение P(x,y)dx + Q(x,y)dyбыло полным дифференциалом некоторой функции U(x,y) области Dнеобходимо и достаточно, чтобы
ПустьA(x0,y0) – фиксированная точка из D.B(x,y) – произвольная точка из D.
Если выполняется условие теоремы1, то . Ее можно восстановить по формуле:
(1), с – произвольная постоянная.
З амеч:Ясно, что при выполнении условий теоремы1 криволинейный интеграл правой части формулы (1) не зависит от пути интегрирования в области D. Поэтому в качестве пути интегрирования, можно выбрать любой путь, который будет удобен для вычисления интеграла.В качестве пути интегрирования для интеграла из (1) берут либо L1=AMB либо L2=ANB.
; dy=0, dx=dx; ; dx=0, dy=dy
Аналогично можно получить вторую формулу для направления L2=ANB
44) Криволинейные интегралы по длине дуги(первого рода).
L=AB-Спрямляемая кривая на xOy.
z=f(M) или z=f(x,y)-определена на кривой L,т.е. M(x,y) L f(M)
Разобьём кривую L на n частей
A= , , ,…, =B
На каждой дуге (k=1,2,…,n) выберем произвольным образом ( , ),(k=1,2,…,n)
= * -длина дуги
Меняя способ разбиения L и выбор можно составлять сколько угодно сумм вида . Обозначим их
Обычно сумма вида называется интегральной суммой f(x,y),заданной на кривой L=AB.
Обозначим через =max , 1 k n
Опр1. число называется пределом при 0,если для 0, 0,что как только | - | независимо ни от способа разбиения кривой L на частичные дуги,ни от выбора
=
Опр2. Если конечный предел интегральных сумм при 0,то называется криволинейным интегралом от f(x,y) по длине дуги .
= d
Вычисление криволинейного интеграла 1-го рода:
Пусть L-гладкая простая кривая
(1)
Теорема1: Если z=f(x,y) непрерывна на гладкой кривой ,заданной параметрически системой (1),то = d ,причём
= d = dt (2)
Замечание: Если L явл-ся кусочно гладкой,т.е. L= ,где -гладкие,то d =