6. Восстановление уравнения движения по заданной скорости

Величина, характеризующая в каждый данный момент времени направление и быстроту движения точки, называется скоростью. Вектор скорости всегда направлен вдоль касательной в ту сторону, куда движется точка. Числовое значение скорости в любой момент времени выражается производной от расстояния по времени:  v = ds/dt или v = f'(t).

Пусть задан вектор скорости материальной точки как функция времени

V=V(t)=dr(t)/dt,

Откуда для dr получим dr(t)=V(t)dt,

Интегрируя это уравнение в пределах от начального момента времени t0 до любого текущего t, найдем t

r(t)=r(t0) + ∫ V(t)dt,

t0

где r(t0) – радиус-вектор точки в начальный момент времени.

Таким образом мы видим, что для восстановления уравнения движения по заданной скорости необходимо знать начальное положение материальной точки.

7. Восстановление уравнения движения по заданному ускорению

Пусть задан вектор ускорения материальной точки как функция времени

a = a(t) = dV(t)/dt,

Тогда для dV получим dV(t)= a(t) dt.

Интегрируя это уравнение в пределах от начального момента времени t0 до любого текущего t, найдем t

V(t)= V(t0) + ∫ a(t) dt,

t0

где V(t0) – вектор скорости в начальный момент времени.

Теперь для восстановления уравнения движения воспользуемся предыдущим результатом – получим уравнение траектории по заданной скорости

t t

r(t)=r(t0)+V(t0)(t-t0) + ∫ ∫ a(t)dt².

t0 t0

Таким образом, для восстановления уравнения движения по заданному ускорению необходимо знать два параметра: начальное положение материальной точки и скорость в начальный момент времени.

8. Преобразования Галилея

Преобразования Галилея — в классической механике (механике Ньютона) преобразования координат и времени при переходе от одной инерциальной системы отсчета (ИСО) к другой. Термин был предложен Филиппом Франком в 1909 году. 

Преобразования Галилея подразумевают одинаковость времени во всех системах отсчета («абсолютное время») и выполнение принципа относительности (принцип относительности Галилея).

Опыты, относящиеся к медленным движениям макроскопических тел, сформировали представление об абсолютности пространства и времени.

Абсолютность пространства предполагает одинаковость расстояния между двумя точками (или, одинаковость линейных размеров тел), а абсолютность времени – одинаковость длительности процессов в различных системах отсчета.

Тогда из условия абсолютности времени следует, что течение времени одинаково во всех системах отсчета ,              

Отсюда следует,                      

Это и есть формулы преобразования пространственно-временных координат в ньютоновской механике, известные под названием преобразований Галилея.

9. Динамика материальной точки – 1-й закон Ньютона

Существуют такие системы отсчёта, называемые инерциальными, относительно которых материальная точка при отсутствии внешних воздействий сохраняет величину и направление своей скорости неограниченно долго.

Инерциальная система отсчёта (ИСО) — система отсчёта, в которой справедлив первый закон Ньютона (закон инерции): все свободные тела (то есть такие, на которые не действуют внешние силы или действие этих сил компенсируется) движутся прямолинейно и равномерно или покоятся. Или инерциальной называется система отсчёта, по отношению к которой пространство является однородным и изотропным, а время — однородным.