- •Физическая реальность и ее моделирование
- •Кинематические характеристики
- •Ускорение при произвольном движении
- •Типы ускорений
- •Восстановление уравнения движения по заданной скорости
- •Восстановление уравнения движения по заданному ускорению
- •Преобразования Галилея
- •Динамика материальной точки – 1-й закон Ньютона
- •Динамика материальной точки – 2-й закон Ньютона
- •Виды сил в механике
- •Система взаимодействующих частиц
- •Теорема о движении центра масс
- •Закон сохранения импульса
- •Движение тел с переменной массой (уравнение Мещерского)
- •Движение тел с переменной массой (формула Циолковского)
- •Описание движения твердого тела
- •Описание движения твердого тела – момента импульса и момента силы
- •Законы динамики твердого тела
- •Законы динамики твердого тела – закон сохранения импульса
- •Момент инерции твердого тела
- •Теорема Штейнера
- •Работа и энергия
- •Теорема о кинетической энергии
- •Потенциальные поля
- •Потенциальные поля (работа по перемещению тела в потенциальном поле)
- •Потенциальные поля (оператор «набла», градиент функции, эквипотенциальная эквивалентность, силовая линия)
- •Поверхность с нулевым значением потенциальной функции
- •Закон сохранения энергии
- •Абсолютно упругий удар (нецентральный)
- •Закон всемирного тяготения. Принцип эквивалентности.
- •Потенциальность гравитационного поля
- •Список литературы
Теорема о движении центра масс
Уравнение md2rc/dt2 = ∑PiE = RE или maC = ∑ PiE = RE выражает теорему о движении центра масс системы, которая формулируется следующим образом: Центр масс механической системы движется как материальная точка массой, равной массе всей системы, к которой приложены все внешние силы действующие на систему.
Закон сохранения импульса
По третьему закону Ньютона силы, действующие на тела при их взаимодействии, равны по модулю и противоположны по направлению; поэтому их можно обозначить и .
Для изменений импульсов тел при их взаимодействии можно записать
,
,
где t — время взаимодействия тел. Из этих выражений получаем
.
Таким образом, векторная сумма импульсов двух тел до взаимодействия равна векторной сумме их импульсов после взаимодействия.
В любой системе взаимодействующих между собой тел при отсутствии действия сил со стороны других тел, не входящих в систему, или равенстве нулю суммы действующих сил геометрическая сумма импульсов тел остается неизменной.
Система тел, не взаимодействующих с другими телами, не входящими в эту систему, называется замкнутой системой.
В замкнутой системе геометрическая сумма импульсов тел остается постоянной при любых взаимодействиях тел этой системы между собой.
Этот фундаментальный закон природы называется законом сохранения импульса.
Необходимым условием применимости закона сохранения импульса к системе взаимодействующих тел является использование инерциальной системы отсчета.
Движение тел с переменной массой (уравнение Мещерского)
Уравнение обычно записывается в следующем виде:
,
где:
m — масса материальной точки переменной массы, меняющаяся за счет обмена частицами с окружающей средой;
— скорость движения материальной точки переменной массы;
— внешние силы, действующие на материальную точку переменной массы со стороны ее внешнего окружения (в том числе, если такое имеет место, и со стороны среды, с которой она обменивается частицами, например электромагнитные силы — в случае массообмена с магнитной средой, сопротивление среды движению и т. п.);
— относительная скорость присоединяющихся частиц;
— относительная скорость отделяющихся частиц;
, — скорости массообмена присоединяющихся и отделяющихся частиц.
Движение тел с переменной массой (формула Циолковского)
Формула Циолковского определяет скорость, которую развивает летательный аппарат под воздействием тяги ракетного двигателя, неизменной по направлению, при отсутствии всех других сил. Эта скорость называется характеристической.
,
где:
— конечная (после выработки всего топлива) скорость летательного аппарата;
— удельный импульс ракетного двигателя (отношение тяги двигателя к секундному расходу массы топлива);
— начальная масса летательного аппарата (полезная нагрузка + конструкция аппарата + топливо).
— конечная масса летательного аппарата (полезная нагрузка + конструкция).
Описание движения твердого тела
Равномерным прямолинейным движением называется такое прямолинейное движение, при котором материальная точка (тело) движется по прямой и в любые равные промежутки времени совершает одинаковые перемещения и описывается формулой
Линейная скорость υ какой-либо точки абсолютно твердого тела пропорционально расстоянию R точки от оси вращения:
При равномерном вращательном движении абсолютно твердого тела углы поворота тела за любые равные промежутки времени одинаковы ( ∆φ = const ) и мгновенная угловая скорость тела равна средней угловой скорости ( ω = ωcp ). Тангенциальные ускорения aτ у различных точек абсолютно твердого тела отсутствуют ( aτ = 0 ), а нормальное (центростремительное ) ускорение an какой-либо точки тела зависит от ее расстояния R до оси вращения:
Вектор an направлен в каждый момент времени по радиусу траектории точки к оси вращения.
Угловым ускорением (мгновенным угловым ускорением) вращающегося тела в момент времени t называется величина ε, равная пределу, к которому стремится среднее угловое ускорение за промежуток времени от t до t + ∆t при бесконечном уменьшении ∆t, или, угловое ускорение - это первая производная от угловой скорости по времени или вторая производная от угла поворота по времени:
Угол поворота ∆φ тела вокруг оси за промежуток времени ∆t = t - t0 при равнопеременном движении:
Тангенциальная составляющая ускорения:
|
; υ = ω·R, поэтому |
|
Нормальная составляющая ускорения:
Таким образом, связь между линейными и угловыми величинами выражается следующими формулами: S = R·φ, υ = ω·R, aτ = R·ε, an = ω2·R.