Определение

Пусть А B. Тогда отношение {(y, x)(x, y)} называется отношением, обратным к отношению .

Для обозначения отношения, обратного к , применяется запись ^1.

Понятие обращения отношений есть обобщение понятия обратного отображения. При этом обратное отношение всегда существует. Поскольку (^1)^1= , то отношения и их обращения находятся в биективной зависимости. Поэтому обращение всякого отношения порождает в общем случае новое отношение, которое совпадает с ним с точностью до простого преобразования.

Например, рассмотрим отношение управления людьми руководит  A  A, где A  множество людей, определяемое соотношением: a  b  a руководит b.

Тогда отношение, обратное к отношению руководит, можно назвать словом руководим. Такое название соответствует содержательному смыслу обратной связи между b и a.

Понятие отношения может быть обобщено на произвольное конечное семейство множеств А₁, .., А_k следующим образом.

Отношением на произвольном числе множеств А₁, ... , А_k является всякое множество А₁ ... А_k. Однако отношения на парах множеств являются практически наиболее часто используемыми отношениями. Во многих случаях через такие отношения, с помощью специальных комбинаций отношений, могут выражаться отношения над более чем двумя множествами.

3.4. Бинарные отношения на множестве

Отношение А А называется отношением на A. Такие отношения называются также бинарными отношениями на множестве A. То есть отношение на A  это отношение между элементами одного и того же множества A.

Для таких отношений можно выделить несколько специальных свойств.

1. Рефлексивность

Отношение А А является рефлексивным, если .

Простейшее рефлексивное отношение на A  это множество, состоящее из всех пар вида (a, a), где a A. Такое отношение называется единичным отношением или диагональю и обозначается как .

2. Симметричность

Отношение А А  является симметричным, если  a, b  A (a  b  b  a).

То есть отношение А А симметрично, если для любых a и b из того что (a, b) следует, что пара (b, a) .

Поэтому отношение  несимметрично, если хотя бы для одной пары (a, b) не выполняется указанное свойство. Нетрудно видеть, условие симметричности равносильно условию:

 a, b  A (a  b  b  a).

3. Антисимметричность

Отношение А А антисимметричное, если

 a ,b  A(a  b  b  a  a = b).

То есть отношение А А является антисимметричным, если из (a, b) и (b, a) следует, что a = b.

Заметим, что антисимметричность представляет свойство несимметричности в сильной форме. Отношение антисимметрично, если оно несимметрично всюду за исключением пар из единичного отношения . При этом не требуется, чтобы в антисимметричном отношении содержались все пары, компоненты которых совпадают. Поэтому существуют отношения, которые являются симметричными и антисимметричными одновременно. Такие отношения составлены парами, имеющими равные первую и вторую компоненты.

4. Транзитивность

Отношение А А транзитивное, если

 a, b, c  A(a  b  b  c  a  c).

Отношение А А является транзитивным если из (a, b)  и (b, c)  следует, что (a, c) . Содержательно транзитивность состоит в том, что если осуществляется последовательный многократный переход между элементами множества A, по связям отношения , то между первым и последним элементами такого перехода также выполняется отношение .

Упражнение. Доказать следующие свойства отношений:

1)  рефлексивное   ;

2)   симметричное  = ^-1;

3)   антисимметричное   ^-1 ;

4)   транзитивное    .

Упражнение. Является ли транзитивным бинарное отношение, на множестве {a, b, c, d, e, f} заданное диаграммой:

a d

b e

c f

Рассмотрим несколько примеров отношений на множестве.

Пусть A  это множество всех людей.

Отношение  = "дружить". Для этого отношения справедливость условия (a, b)  означает, что a дружит с b. Это отношение симметричное, но оно нетранзитивное и нерефлексивное.

Отношение "любить"  несимметричное и нетранзитивное, но, по-видимому, рефлексивное.

Отношение "быть родственником"  рефлексивное, симметричное и транзитивное.

Отношение "руководить"  антисимметричное, транзитивное и нерефлексивное.

Если А А  некоторое отношение, то рефлексивным, симметричным, транзитивным замыканиями этого отношения называются минимальные отношения на А, которые содержат  и являются соответственно рефлексивными, симметричными и транзитивными.